Nombre premier de Fibonacci

Un nombre premier de Fibonacci est un nombre de Fibonacci qui est de plus un nombre premier.

Primalité des nombres de Fibonacci

On ignore s'il existe une infinité de nombres de Fibonacci premiers. On sait que $F_{n}$ divise $F_{kn}$ (voir la propriété 6 dans le § « Propriétés » de l'article sur la suite de Fibonacci), et donc que, pour tout n > 4, si $F_{n}$ est premier, alors n est premier, mais la réciproque est fausse ($F_{19}=4181=37\times 113$ est le premier contre-exemple non trivial). En octobre 2015, le plus grand nombre premier de Fibonacci connu est $F_{81~839}$ et le plus grand nombre de Fibonacci probablement premier connu est $F_{2~904~353}$, qui a 606 974 chiffres décimaux.

En 1964, Ronald Graham a donné une méthode pour construire des suites sans nombres premiers (en), c'est-à-dire des suites (T_n) vérifiant en même temps les trois conditions suivantes :

• T_n+2 = T_n+1 + T_n ;
• T_n et T_n+1 sont premiers entre eux (ils n'ont aucun diviseur commun) ;
• aucun T_n n'est premier.

Dans la suite qu'il proposait (suite A083103 de l'OEIS), les deux termes initiaux comportaient 34 chiffres décimaux. En affinant sa méthode, on a réussi à construire de telles suites avec deux termes initiaux plus petits :

• 17 chiffres : suite  A083105 (Donald Knuth, 1990) ;
• 17 et 16 chiffres : suite  A083216 (Herbert Wilf, 1990) ;
• 12 et 11 chiffres : suite  A082411 (John Nicol, 1999) ;
• 12 et 11 chiffres, mais plus petits (Maxim Vsemirnov, 2004).

Notes et références

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Suite de Fibonacci » (voir la liste des auteurs).