Nombre octaédrique

Un nombre octaédrique est un nombre figuré polyédrique comptant des points régulièrement répartis dans un octaèdre régulier, ou deux pyramides placées ensemble, l'une placée sur l'autre renversée.

$O_{6}=146$ billes magnétiques, empilées pour former un octaèdre.

Le nombre octaédrique d'ordre $n$, correspondant au cas où il y a $n$ points sur chaque arête de l'octaédre, est donné par la formule :

$O_{n}={n(2n^{2}+1) \over 3}.$.

Les dix premiers nombres octaédriques sont :

1, 6, 19, 44, 85, 146, 231, 344, 489, 670 (suite A005900 de l'OEIS).

La série génératrice des nombres octaédriques est la fraction rationnelle :

${\frac {z(z+1)^{2}}{(z-1)^{4}}}=\sum _{n=1}^{\infty }O_{n}z^{n}=z+6z^{2}+19z^{3}+\cdots .$

Obtention du nombre octaédrique d'ordre n

Comme somme de deux nombres pyramidaux

O_n peut être obtenu en ajoutant deux nombres pyramidaux carrés consécutifs : $O_{n}=\sum _{k=1}^{n-1}k^{2}+\sum _{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(n-1)n(2n-1)}{6}}+{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={n(2n^{2}+1) \over 3}.$

Par la construction générale des nombres polyédriques réguliers

On obtient ici $O_{n}$ à partir de la relation : $O_{n}-O_{n-1}=(S-1)+(A-q)(n-2)+(F-q)(P_{m,n}-m(n-1))$,

où $S=6,A=12,F=8$ sont les nombres de sommets, arêtes et faces de l'octaèdre, $\{m,q\}=\{3,4\}$ son symbole de Schläfli : {nombre d'arêtes par face, nombre d'arêtes (et aussi de faces) par sommet} , et $P_{m,n}$ le nombre m-gonal d'ordre n .

On obtient donc $O_{n}-O_{n-1}=(6-1)+(12-4)(n-2)+(8-4)(n(n+1)/2-3(n-1))=2n^{2}-2n+1$.

D'où $O_{n}=2{\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}-2{\frac {n(n+1)}{2}}+n={n(2n^{2}+1) \over 3}$.

Nombre octaédrique tronqué

Si l'on retranche à chacun des 6 sommets de la construction précédente à l'étape $3n-2$ une pyramide à base carrée à l'étape $n-1$, on obtient les nombres octaédriques tronqués : $OT_{n}=O_{3n-2}-6P_{n-1}^{(4)}=16n^{3}-33n^{2}+24n-6$ : 1, 38, 201, 586, 1289, 2406, 4033, 6266, 9201, 12934,... (suite A005910 de l'OEIS) .

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Octahedral number » (voir la liste des auteurs).

Articles connexes

• Conjectures de Pollock
• Nombre octaédrique centré

Lien externe

• (en) Eric W. Weisstein, « Octahedral number », sur MathWorld