En mathématiques, un nombre de Perrin est un terme de la suite de Perrin, variante de la suite de Padovan. Cette suite d'entiers est définie par récurrence par :

P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2 et pour tout n ≥ 3, P(n) = P(n − 2) + P(n − 3).

Les 20 premiers termes sont[1] :

n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
P(n) 3 0 2 3 2 5 5 7 10 12 17 22 29 39 51 68 90 119 158 209

PrimalitéModifier

Si n est un nombre premier alors P(n) est un multiple de n.

François Olivier Raoul Perrin avait conjecturé la réciproque en 1899. Cependant, le premier contre-exemple n > 1 a été trouvé en 1980 : il s'agit de 271 441. En effet, 271 441 divise P(271 441) mais 271 441 = 5212. Le nombre P(271 441) a 33 150 chiffres. Le nombre 271 441 est un nombre pseudo-premier de Perrin[2]. Il y en a une infinité[3].

Les nombres de Perrin premiers forment la suite A074788 de l'OEIS, et leurs indices la suite  A112881.

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Perrin number » (voir la liste des auteurs).
  1. Suite  A001608 de l'OEIS.
  2. Suite  A013998 de l'OEIS.
  3. (en) Jon Grantham, « There are infinitely many Perrin pseudoprimes », J. Number Theory, vol. 130, no 5,‎ , p. 1117-1128 (DOI 10.1016/j.jnt.2009.11.008, lire en ligne).

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Liens externesModifier