Nombre décagonal

En mathématiques, un nombre décagonal est un nombre figuré polygonal qui peut être représenté graphiquement par des points répartis dans un décagone. Le nombre décagonal d'ordre $n$ est donné par la formule  :

Cinquième nombre décagonal :$D_{5}={\color {red}1}+{\color {orange}9}+{\color {green}17}+{\color {blue}25}+{\color {pink}33}=85$

$D_{n}=n(4n-3).$.

Les onze premiers nombres décagonaux sont : 1, 10, 27, 52, 85, 126, 175, 232, 297, 370, 451 (suite A001107 de l'OEIS).

Obtention de ces nombres

Avec $n$ points sur chaque côté du polygone extérieur, on ajoute à l'étape $n$ : $10-1$ points sur les sommets et $(10-2)(n-2)$ points à l'intérieur des côtés, d'où $D_{n}-D_{n-1}=9+8(n-2)=8(n-1)+1$.

Donc $D_{n}=\sum _{k=1}^{n}(8(k-1)+1)=\sum _{k=0}^{n-1}(8k+1)=4n(n-1)+n=n(4n-3)$.

Propriétés

• $D_{n}$ est la somme du nombre carré d'ordre $n$ et de six fois le nombre triangulaire d'ordre $n$, autrement dit, $D_{n}=C_{n}+6T_{n-1}=n^{2}+3n(n-1)$ .
• $D_{n}$ est la somme du nombre pentagonal d'ordre $n$ et de cinq nombres triangulaires d'ordre $n-1$ : $D_{n}=P_{n}+5T_{n-1}={\frac {n(3n-1)}{2}}+{\frac {5n(n-1)}{2}}$.

• $D_{n}=n+8T_{n-1}=n+4n(n-1)$ est congru à $n$ modulo 8 et a donc même parité que lui.

• D'après le théorème des nombres polygonaux de Fermat, tout entier naturel est la somme d'au plus 10 nombres décagonaux.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Decagonal number » (voir la liste des auteurs).
• (en) Eric W. Weisstein, « Decagonal Number », sur MathWorld

(en) Hyun Kwang Kim, « On Regular Polytope Numbers », PROCEEDINGS OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY, vol. 131, n^o 1,‎ 2002, p. 66 (lire en ligne)

(en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 6

Voir aussi

• Nombre polygonal
• Nombre figuré
• Décagone
• Nombre décagonal centré