Moyenne logarithmique

En mathématiques, la moyenne logarithmique est un type de moyenne.

Graphique tridimensionnel représentant la moyenne logarithmique de x et y.

Pour deux réels strictement positifs, elle est égale à leur différence, divisée par le logarithme de leur quotient. Cette moyenne est utilisée lors de problèmes d'ingénierie concernant le transfert de chaleur et de masse.

Définition modifier

La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs   est définie par :

 .

Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est  , voir la suite A007525 de l'OEIS.

Propriétés modifier

La moyenne logarithmique est bien une moyenne, car comprise entre a et b (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier[1]»). Elle est de plus homogène :  .

Inégalités modifier

La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2 , mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément :

  [2],[3],[4].

Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec   de la moyenne d'ordre   et les deux inégalités centrales de la croissance avec   de la moyenne de Stolarsky  .

Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.

Pour  , on pose   ; les inégalités   s'écrivent alors  .

En remplaçant   par  , la première inégalité s'écrit  , inégalité classique.

La deuxième s'écrit aussi   ; en remplaçant   par  , elle s'écrit  , inégalité également classique.

La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour f = exp sur [ln(a) , ln(b)].

Diverses obtentions de cette moyenne modifier

Par le théorème des accroissements finis modifier

D'après le théorème des accroissements finis, il existe un réel   entre a et b où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante :

 

La moyenne logarithmique est le nombre   lorsque l'on prend   :

 

soit :

 

Par intégration modifier

La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle :

 

Carlson donne d'autres expressions intégrales[5]:

 

D'après le théorème des sommes de Riemann,   est la limite de la suite décroissante  , formée de moyennes arithmétiques de moyennes géométriques pondérées.

Généralisation modifier

Par le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n modifier

On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.

On obtient

 

  désigne la différence divisée d'ordre n du logarithme.

Pour n = 2, cela donne par exemple :

  .

Par intégration modifier

L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe    et une mesure appropriée   qui assigne au simplexe un volume égal à 1, on obtient

 

Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour

  .

Exemple pour  

  .

Relations avec d'autres moyennes modifier

  • Moyenne arithmétique :  
  • Moyenne géométrique :  
  • Moyenne harmonique :  

Articles connexes modifier

Références modifier

Notes
  1. (en) Eric W. Weisstein, « Napier's Inéquality », sur MathWorld
  2. (en) B. C. Carlson, « Some inequalities for hypergeometric functions », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 17,‎ , p. 32–39 (DOI 10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6)
  3. (en) B. Ostle et H. L. Terwilliger, « A comparison of two means », Proc. Montana Acad. Sci., vol. 17,‎ , p. 69–70
  4. (en) Tung-Po Lin, « The Power Mean and the Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly, vol. 81,‎ (DOI 10.1080/00029890.1974.11993684)
  5. (en) Billie C. Carlson, « The Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly, vol. 79, no 6,‎ , p. 615– (DOI 10.2307/2317088)
Bibliographie