La moyenne logarithmique de deux réels strictement positifs a , b {\displaystyle a,b} est définie par :
M ln ( a , b ) = lim ( x , y ) → ( a , b ) x − y ln x − ln y = { a si a = b , b − a ln b − ln a sinon {\displaystyle {\begin{aligned}M_{\text{ln}}(a,b)&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}{\frac {x-y}{\ln x-\ln y}}\\[6pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b,\\{\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}&{\text{sinon}}\end{cases}}\end{aligned}}} .Ainsi, par exemple, la moyenne logarithmique de 1 et 2 est 1 ln 2 = 1 , 4426 ⋯ {\displaystyle {\frac {1}{\ln 2}}=1,4426\cdots } , voir la suite A007525 de l'OEIS .
La moyenne logarithmique est bien une moyenne , car comprise entre a et b (ce résultat est connu sous le nom d'« inégalité de Napier[ 1] »). Elle est de plus homogène : M ln ( k a , k b ) = k M ln ( a , b ) {\displaystyle M_{\ln }(ka,kb)=kM_{\ln }(a,b)} .
La moyenne logarithmique de deux nombres est inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique et à leur moyenne d'ordre 1/2 , mais supérieure ou égale à leur moyenne géométrique et à leur moyenne harmonique ; plus précisément :
2 a b a + b ⩽ a b ⩽ M ln ( a , b ) ⩽ ( a + b 2 ) 2 ⩽ a + b 2 pour a , b > 0 {\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}\leqslant {\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}\leqslant {\frac {a+b}{2}}\qquad {\text{ pour }}a,b>0} [ 2] , [ 3] , [ 4] .Les deux inégalités extrêmes viennent de la croissance avec p {\displaystyle p} de la moyenne d'ordre p {\displaystyle p} et les deux inégalités centrales de la croissance avec p {\displaystyle p} de la moyenne de Stolarsky S p ( a , b ) {\displaystyle S_{p}(a,b)} .
Ces deux dernières inégalités se démontrent élémentairement comme suit.
Pour b ⩾ a {\displaystyle b\geqslant a} , on pose x = b / a {\displaystyle x={\sqrt {b/a}}} ; les inégalités a b ⩽ M ln ( a , b ) ⩽ ( a + b 2 ) 2 {\displaystyle {\sqrt {ab}}\leqslant M_{\text{ln}}(a,b)\leqslant \left({\frac {{\sqrt {a}}+{\sqrt {b}}}{2}}\right)^{2}} s'écrivent alors x ⩽ x 2 − 1 2 ln x ⩽ ( 1 + x 2 ) 2 {\displaystyle x\leqslant {\frac {x^{2}-1}{2\ln x}}\leqslant \left({\frac {1+x}{2}}\right)^{2}} .
En remplaçant x {\displaystyle x} par e x , x ⩾ 0 {\displaystyle \mathrm {e} ^{x},x\geqslant 0} , la première inégalité s'écrit x ⩽ e 2 x − 1 2 e x = sinh x {\displaystyle x\leqslant {\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{2\mathrm {e} ^{x}}}=\sinh x} , inégalité classique.
La deuxième s'écrit aussi ln x ⩾ 2 x − 1 x + 1 {\displaystyle \ln x\geqslant 2{\frac {x-1}{x+1}}} ; en remplaçant x {\displaystyle x} par e 2 x , x ⩾ 0 {\displaystyle \mathrm {e} ^{2x},x\geqslant 0} , elle s'écrit x ⩾ tanh x {\displaystyle x\geqslant \tanh x} , inégalité également classique.
La relation entre les moyennes géométrique, logarithmique et arithmétique peut aussi se déduire de l'inégalité d'Hermite-Hadamard pour f = exp sur [ln(a ) , ln(b )] .
Diverses obtentions de cette moyenne
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Par le théorème des accroissements finis
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D'après le théorème des accroissements finis , il existe un réel c {\displaystyle c} entre a et b où la dérivée d'une fonction f est égale à la pente de la sécante :
∃ c ∈ ] a , b [ : f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a {\displaystyle \exists c\in ]a,b[:\ f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}} La moyenne logarithmique est le nombre c {\displaystyle c} lorsque l'on prend f = ln {\displaystyle f=\ln } :
1 c = ln b − ln a b − a {\displaystyle {\frac {1}{c}}={\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}} soit :
c = b − a ln b − ln a {\displaystyle c={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}
La moyenne logarithmique peut également être interprétée comme l'aire sous une courbe définie par des fonctions exponentielle :
M ln ( a , b ) = ∫ 0 1 a 1 − t b t d t {\displaystyle M_{\ln }(a,b)=\int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t}
Démonstration
Le calcul est direct :
∫ 0 1 a 1 − t b t d t = a ∫ 0 1 ( b a ) t d t = a [ 1 ln ( b a ) ( b a ) t ] t = 0 t = 1 = b − a ln ( b a ) = b − a ln b − ln a {\displaystyle \int _{0}^{1}a^{1-t}b^{t}\ \mathrm {d} t=a\int _{0}^{1}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\mathrm {d} t=a\left[{\frac {1}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}\left({\frac {b}{a}}\right)^{t}\right]_{t=0}^{t=1}={\frac {b-a}{\ln \left({\frac {b}{a}}\right)}}={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}}
Carlson donne d'autres expressions intégrales[ 5] :
1 M ln ( a , b ) = ∫ 0 1 d t ( 1 − t ) a + t b = ∫ 0 ∞ d t ( t + a ) ( t + b ) . {\displaystyle {1 \over M_{\ln }{(a,b)}}=\int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over (1-t)a+tb}\ =\int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}.}
Démonstration
La première intégrale se fait par un simple changement de variables affine :
∫ 0 1 d t ( 1 − t ) a + t b = ∫ a b 1 u d u b − a = ln b − ln a b − a {\displaystyle \int _{0}^{1}{\operatorname {d} \!t \over (1-t)a+tb}=\int _{a}^{b}{1 \over u}{\operatorname {d} \!u \over b-a}={\frac {\ln b-\ln a}{b-a}}} .Pour la deuxième intégrale, on utilise la décomposition en éléments simples :
∫ 0 ∞ d t ( t + a ) ( t + b ) = 1 b − a ∫ 0 ∞ ( 1 ( t + a ) − 1 ( t + b ) ) d t = 1 b − a [ ln ( t + a t + b ) ] 0 ∞ = − ln ( a / b ) b − a {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\operatorname {d} \!t \over (t+a)\,(t+b)}={1 \over b-a}\int _{0}^{\infty }\left({1 \over (t+a)}-{1 \over (t+b)}\right)\operatorname {d} \!t={1 \over b-a}\left[\ln \left({{t+a} \over t+b}\right)\right]_{0}^{\infty }={\frac {-\ln(a/b)}{b-a}}} .
D'après le théorème des sommes de Riemann , M ln ( a , b ) {\displaystyle M_{\ln }(a,b)} est la limite de la suite décroissante ( 1 n + 1 ∑ k = 0 n a n − k b k n ) n ⩾ 0 {\displaystyle \left({\frac {1}{n+1}}\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\sqrt[{n}]{a^{n-k}b^{k}}}\right)_{n\geqslant 0}} , formée de moyennes arithmétiques de moyennes géométriques pondérées .
Par le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n
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On peut généraliser la moyenne logarithmique à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé à l'ordre n faisant intervenir les différences divisées d'ordre n du logarithme.
On obtient
L MV ( x 0 , … , x n ) = ( − 1 ) ( n + 1 ) n ln ( [ x 0 , … , x n ] ) − n {\displaystyle L_{\text{MV}}(x_{0},\,\dots ,\,x_{n})={\sqrt[{-n}]{(-1)^{(n+1)}n\ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)}}} où ln ( [ x 0 , … , x n ] ) {\displaystyle \ln \left(\left[x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right]\right)} désigne la différence divisée d'ordre n du logarithme.
Pour n = 2, cela donne par exemple :
L MV ( x , y , z ) = ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) 2 [ ( y − z ) ln x + ( z − x ) ln y + ( x − y ) ln z ] {\displaystyle L_{\text{MV}}(x,y,z)={\sqrt {\frac {(x-y)\left(y-z\right)\left(z-x\right)}{2\left[\left(y-z\right)\ln x+\left(z-x\right)\ln y+\left(x-y\right)\ln z\right]}}}} .
L'interprétation intégrale peut aussi être généralisée à plusieurs variables, mais elle conduit à un résultat différent. Étant donné le simplexe S {\textstyle S} où S = { ( α 0 , … , α n ) : ( α 0 + ⋯ + α n = 1 ) ∧ ( α 0 ⩾ 0 ) ∧ ⋯ ∧ ( α n ⩾ 0 ) } {\textstyle S=\{\left(\alpha _{0},\,\dots ,\,\alpha _{n}\right):\left(\alpha _{0}+\dots +\alpha _{n}=1\right)\land \left(\alpha _{0}\geqslant 0\right)\land \dots \land \left(\alpha _{n}\geqslant 0\right)\}} et une mesure appropriée d α {\textstyle \mathrm {d} \alpha } qui assigne au simplexe un volume égal à 1, on obtient
L I ( x 0 , … , x n ) = ∫ S x 0 α 0 ⋅ ⋯ ⋅ x n α n d α {\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=\int _{S}x_{0}^{\alpha _{0}}\cdot \,\cdots \,\cdot x_{n}^{\alpha _{n}}\ \mathrm {d} \alpha } Cela peut être simplifié en utilisant les différences divisées de la fonction exponentielle pour
L I ( x 0 , … , x n ) = n ! exp [ ln ( x 0 ) , … , ln ( x n ) ] {\displaystyle L_{\text{I}}\left(x_{0},\,\dots ,\,x_{n}\right)=n!\exp \left[\ln \left(x_{0}\right),\,\dots ,\,\ln \left(x_{n}\right)\right]} .Exemple pour n = 2 {\textstyle n=2}
L I ( x , y , z ) = − 2 x ( ln ( y ) − ln ( z ) ) + y ( ln ( z ) − ln ( x ) ) + z ( ln ( x ) − ln ( y ) ) ( ln ( x ) − ln ( y ) ) ( ln ( y ) − ln ( z ) ) ( ln ( z ) − ln ( x ) ) {\displaystyle L_{\text{I}}(x,y,z)=-2{\frac {x\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)+y\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)+z\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)}{\left(\ln \left(x\right)-\ln \left(y\right)\right)\left(\ln \left(y\right)-\ln \left(z\right)\right)\left(\ln \left(z\right)-\ln \left(x\right)\right)}}} . Relations avec d'autres moyennes
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Moyenne arithmétique : M ln ( x 2 , y 2 ) M ln ( x , y ) = x + y 2 {\displaystyle {\frac {M_{\ln }\left(x^{2},y^{2}\right)}{M_{\ln }(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}} Moyenne géométrique : M ln ( x , y ) M ln ( 1 x , 1 y ) = x y {\displaystyle {\sqrt {\frac {M_{\ln }\left(x,y\right)}{M_{\ln }\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}} Moyenne harmonique : M ln ( 1 x , 1 y ) M ln ( 1 x 2 , 1 y 2 ) = 2 1 x + 1 y {\displaystyle {\frac {M_{\ln }\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{M_{\ln }\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}} Articles connexes
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Notes ↑ (en) Eric W. Weisstein , « Napier's Inéquality », sur MathWorld
↑ (en) B. C. Carlson, « Some inequalities for hypergeometric functions », Proc. Amer. Math. Soc. , vol. 17, 1966 , p. 32–39 (DOI 10.1090/s0002-9939-1966-0188497-6 )
↑ (en) B. Ostle et H. L. Terwilliger, « A comparison of two means », Proc. Montana Acad. Sci. , vol. 17, 1957 , p. 69–70
↑ (en) Tung-Po Lin, « The Power Mean and the Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly , vol. 81, 11 avril 2018 (DOI 10.1080/00029890.1974.11993684 )
↑ (en) Billie C. Carlson, « The Logarithmic Mean », The American Mathematical Monthly , vol. 79, no 6, 1972 , p. 615– (DOI 10.2307/2317088 )
Bibliographie