En mathématiques , la moyenne de Stolarsky est une généralisation de la moyenne logarithmique . Elle a été introduite par Kenneth B. Stolarsky en 1975 [ 1]
Moyenne de Stolarsky de 1 et x , pour x entre 1 et 5, pour différents ordres
Étant donné un nombre réel p différent de 0 et 1, la moyenne de Stolarsky d'ordre p de deux nombres réels strictement positifs a, b est définie par :
S p ( a , b ) = lim ( x , y ) → ( a , b ) ( y p − x p p ( y − x ) ) 1 / ( p − 1 ) = { a si a = b ( b p − a p p ( b − a ) ) 1 / ( p − 1 ) sinon {\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(a,b)&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}\left({\frac {y^{p}-x^{p}}{p(y-x)}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b\\\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{sinon}}\end{cases}}\end{aligned}}} Obtention de cette moyenne
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Étant donné une fonction f {\displaystyle f} [ a , b ] , a ≠ b {\displaystyle [a,b],a\neq b} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} théorème des accroissements finis , un unique réel c {\displaystyle c} ] a , b [ {\displaystyle ]a,b[} f ′ ( c ) = f ( b ) − f ( a ) b − a = 1 b − a ∫ a b f ′ ( x ) d x {\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f'(x)dx} valeur moyenne de f ′ {\displaystyle f'} [ a , b ] {\displaystyle [a,b]}
La moyenne de Stolarsky est précisément égale à
c = f ′ − 1 ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) {\displaystyle c=f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)} lorsqu'on prend f ( x ) = x p {\displaystyle f(x)=x^{p}}
S p ( a , b ) {\displaystyle S_{p}(a,b)} moyenne , car comprise entre a et b . De plus on peut prolonger par continuité p ↦ S p ( a , b ) {\displaystyle p\mapsto S_{p}(a,b)}
Cas particuliers
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lim p → − ∞ S p ( a , b ) {\displaystyle \lim _{p\to -\infty }S_{p}(a,b)} minimum de a et b .S − 2 ( a , b ) = 2 a 2 b 2 a + b 3 = M h ( a , b ) ( M g ( a , b ) ) 2 3 {\displaystyle S_{-2}(a,b)={\sqrt[{3}]{\frac {2a^{2}b^{2}}{a+b}}}={\sqrt[{3}]{M_{h}(a,b)(M_{g}(a,b))^{2}}}} moyenne harmonique et de la moyenne géométrique de a et b .S − 1 ( a , b ) = a b {\displaystyle S_{-1}(a,b)={\sqrt {ab}}} moyenne géométrique .lim p → 0 S p ( a , b ) = b − a ln b − ln a {\displaystyle \lim _{p\to 0}S_{p}(a,b)={\frac {b-a}{\ln b-\ln a}}} moyenne logarithmique . Elle est obtenue par la formule f ′ − 1 ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) {\displaystyle f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)} f ( x ) = ln x {\displaystyle f(x)=\ln x} S 1 2 ( a , b ) = ( b + a 2 ) 2 {\displaystyle S_{\frac {1}{2}}(a,b)=\left({\frac {{\sqrt {b}}+{\sqrt {a}}}{2}}\right)^{2}} moyenne (de Hölder) d'ordre 1/2 .lim p → 1 S p ( a , b ) = 1 e ( b b a a ) 1 / ( b − a ) {\displaystyle \lim _{p\to 1}S_{p}(a,b)={\frac {1}{e}}\left({\frac {b^{b}}{a^{a}}}\right)^{1/(b-a)}} moyenne identrique . Elle est obtenue à partir de la formule f ′ − 1 ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) {\displaystyle f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)} f ( x ) = x ⋅ ln x {\displaystyle f(x)=x\cdot \ln x} S 2 ( a , b ) {\displaystyle S_{2}(a,b)} moyenne arithmétique .S 3 ( a , b ) = a 2 + b 2 + a b 3 = M q ( a , b , M g ( a , b ) ) {\displaystyle S_{3}(a,b)={\sqrt {\frac {a^{2}+b^{2}+ab}{3}}}=M_{q}(a,b,M_{g}(a,b))} moyenne quadratique et de la moyenne géométrique de a et b .lim p → ∞ S p ( a , b ) {\displaystyle \lim _{p\to \infty }S_{p}(a,b)} maximum de a et b .
Pour plusieurs variables
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On peut généraliser cette moyenne à n + 1 variables en considérant le théorème des accroissements finis généralisé exprimé à l'aide des différences divisées . On obtient :
S p ( x 0 , … , x n ) = f ( n ) − 1 ( n ! ⋅ f [ x 0 , … , x n ] ) {\displaystyle S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}])} f ( x ) = x p {\displaystyle f(x)=x^{p}} Pour une fonction quelconque
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La définition M f ( a , b ) = f ′ − 1 ( f ( b ) − f ( a ) b − a ) {\displaystyle M_{f}(a,b)=f'^{-1}\left({\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\right)} a , b > 0 {\displaystyle a,b>0} f {\displaystyle f} ] 0 , + ∞ [ {\displaystyle ]0,+\infty [} f ( x ) = x p , ln x , x ln x {\displaystyle f(x)=x^{p},\ln x,x\ln x}
Pour f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)={\rm {e}}^{x}} M f ( a , b ) = ln ( e b − e a b − a ) {\displaystyle M_{f}(a,b)=\ln \left({\frac {{\rm {e}}^{b}-{\rm {e}}^{a}}{b-a}}\right)} [ 2]
D'autre part, on peut montrer que la moyenne harmonique ne peut être obtenue comme moyenne de type M f {\displaystyle M_{f}} [ 2]
Moyennes bi-paramétriques
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On peut définir des moyennes de Stolarsky pour deux paramètres p et q par[ 3]
S p , q ( a , b ) = { a si a = b > 0 S p ( a , b ) si q = 0 ( q ( b p − a p ) p ( b q − a q ) ) 1 / ( p − q ) si p q ( p − q ) ≠ 0 exp ( − 1 p + b p ln ( b ) − a p ln ( a ) ) b q − a q ) si p = q ≠ 0 G ( a , b ) si p = q = 0 {\displaystyle S_{p,q}(a,b)={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b>0\\S_{p}(a,b)&{\text{si }}q=0\\\left({\frac {q(b^{p}-a^{p})}{p(b^{q}-a^{q})}}\right)^{1/(p-q)}&{\text{si}}\ pq(p-q)\neq 0\\\exp \left(-{\frac {1}{p}}+{\frac {b^{p}\ln(b)-a^{p}\ln(a))}{b^{q}-a^{q}}}\right)&{\text{si}}\ p=q\neq 0\\G(a,b)&{\text{si}}\ p=q=0\end{cases}}}
↑ (en) Kenneth B. Stolarsky , « Generalizations of the logarithmic mean », Mathematics Magazine vol. 48, 1975 , p. 87–92 (ISSN 0025-570X DOI 10.2307/2689825 JSTOR 2689825 zbMATH 0302.26003 ↑ a et b J.B. Hiriart-Urruty, « Il y a encore du TAF », Losanges , mars 2021 , p. 41 (lire en ligne ↑ (en) Edward Neuman, « Stolarsky means of several variables », Journal of Inequalities in Pure and
Applied Mathematics vol. 6, no 2, 2005 (lire en ligne ) 
![{\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(a,b)&=\lim _{(x,y)\to (a,b)}\left({\frac {y^{p}-x^{p}}{p(y-x)}}\right)^{1/(p-1)}\\[10pt]&={\begin{cases}a&{\text{si }}a=b\\\left({\frac {b^{p}-a^{p}}{p(b-a)}}\right)^{1/(p-1)}&{\text{sinon}}\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ad43edc1619132d7c5d641c7984a2ae6e96ee7c)
![{\displaystyle [a,b],a\neq b}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a3d96d69fab4c5aa7a7caad0e54701e9b1dc6d2)
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![{\displaystyle ]a,b[}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b51ec208e9582e11a4f340a42d4f17fb4748fcb)
![{\displaystyle S_{-2}(a,b)={\sqrt[{3}]{\frac {2a^{2}b^{2}}{a+b}}}={\sqrt[{3}]{M_{h}(a,b)(M_{g}(a,b))^{2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72a67880262ea1a1219fd63118ca92c319af790f)
![{\displaystyle S_{p}(x_{0},\dots ,x_{n})={f^{(n)}}^{-1}(n!\cdot f[x_{0},\dots ,x_{n}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab361b1e61f4e4bb6d7848763f501b47f20f64c7)
![{\displaystyle ]0,+\infty [}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91ea5ab8b69e30f90c2bdf5db4b620815bde815)
)
