En mathématiques, la moyenne de Gini est une généralisation de plusieurs familles de moyennes. Elle a été introduite par le mathématicien italien Corrado Gini en 1938 [1] .

Tracé des moyennes de Gini, de Lehmer et d'ordre p de 1 et 2.

Définition modifier

Étant donnés deux paramètres réels r et s, la moyenne de Gini d'ordre r,s d'une famille de nombres réels strictement positifs x1,...,xn est définie par :

 .

En particulier, pour deux réels strictement positifs a,b :

 
 

Par convention, on désigne la moyenne de Gini d'ordre (1,1) comme la moyenne de Gini :

 

La littérature donne parfois la définition

 .

Propriétés modifier

Les moyennes de Gini respectent les conditions de majoration et minoration des moyennes :

 

Cependant, elles ne sont pas monotones (augmenter une valeur xi ne va pas nécessairement faire varier la moyenne de Gini de l'ensemble)[2].

On peut comparer les moyennes de Gini entre elles sous certaines conditions[3]

 

Cas particuliers modifier

Voir aussi modifier

Références modifier

  1. (it) Corrado Gini, « Di una formula comprensive delle medie », Metron, vol. 13,‎ , p. 3-22
  2. (en) David Farnsworth et Richard Orr, « Gini Means », The American Mathematical Monthly, vol. 93, no 8,‎ , p. 603-607 (DOI 10.1080/00029890.1986.11971898, lire en ligne)
  3. (en) Jozsef Sandor, « A note on the Gini means », General Mathematics, vol. 12, no 4,‎ , p. 17–21 (lire en ligne)
  4. (en) Wei-Dong Jiang, Yong-Ming Jiang et Huan-Nan Shi, « Schur-convexity and Schur-geometrically concavity of Gini means », Computers and Mathematics with Applications, vol. 57,‎ , p. 266–274