Moment d'un vecteur

Le moment d'un vecteur peut se définir par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté. Le moment par rapport à un point est un vecteur, le moment par rapport à un axe est un scalaire. Les moments d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire) sont des pseudovecteurs ou des pseudoscalaires, ceux d'un pseudovecteur sont des vecteurs vrais ou des scalaires vrais.

DéfinitionsModifier

  • Le moment d'un vecteur vrai (ou vecteur polaire)   (de position M) par rapport à un point O est un pseudovecteur (ou vecteur axial) défini par le produit vectoriel :
     .
  • Le moment d'un vecteur vrai   (de position M) par rapport à un axe orienté Δ (de vecteur unitaire  ) est un pseudoscalaire défini comme la projection de   sur l'axe, où O est un point quelconque de l'axe[a] :
     .
  • Le moment d'un pseudovecteur (ou vecteur axial)   (de position M) se définit de la même façon, par rapport à un point ou par rapport à un axe orienté :
      (c'est un vecteur vrai),
      (c'est un scalaire vrai).

ExemplesModifier

  • Le moment cinétique est le moment de la quantité de mouvement :
     .
  • Le moment d'une force ( ) intervient dans le théorème du moment cinétique.
  • Le moment magnétique d'un circuit électrique est, au facteur 1/2 près, l'intégrale du moment de l'élément de courant   :
     .
  • Le champ magnétique généré par un circuit électrique est, à un facteur constant près, l'intégrale du moment de l'élément de courant   divisé par le cube de la distance (loi de Biot et Savart) :
     .

Notes et référencesModifier

  1. Le calcul indiqué donne le même résultat quel que soit le point choisi (sur l'axe). En effet, si O' est un autre point de l'axe :
     
    puisque les vecteurs   et   sont colinéaires (une des propriétés du produit mixte).