Modèle des urnes d'Ehrenfest

Le modèle des urnes est un modèle stochastique introduit en 1907 par les époux Ehrenfest pour illustrer certains des « paradoxes » apparus dans les fondements de la mécanique statistique naissante[1]. Peu de temps en effet après que Boltzmann a publié son théorème H, des critiques virulentes furent formulées, notamment par Loschmidt, puis par Zermelo, Boltzmann étant accusé de pratiquer des « mathématiques douteuses ».

Ce modèle est parfois également appelé le « modèle des chiens et des puces[2] ». Le mathématicien Mark Kac a écrit à son propos qu'il était :

« ... probablement l'un des modèles les plus instructifs de toute la physique ... »

Le modèle des urnesModifier

Définition du modèle stochastiqueModifier

On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N. Initialement, toutes les boules se trouvent dans l'urne A. Le processus stochastique associé consiste à répéter l'opération suivante :

  • Tirer au hasard un numéro i compris entre 1 et N, prendre la boule n°i, la transférer dans l'urne où elle n'était pas.

Par convention, le premier instant est  .

Dynamique du modèleModifier

 
N = 500 boules ; 10000 tirages.

Dans ce modèle, on suit au cours du temps t (discret) le nombre total de boules n(t) présentes dans l'urne A. On obtient une courbe qui part initialement de n(0)=N et commence par décroître vers la valeur moyenne N/2, comme on pourrait s'y attendre pour un « bon » système thermodynamique initialement hors d'équilibre et relaxant spontanément vers l'équilibre.

 
N = 4 boules ; 100 tirages. Les fluctuations autour de la moyenne sont importantes lorsque N est petit, et les récurrences à l'état initial sont particulièrement visibles.

Mais cette décroissance est irrégulière : il existe des fluctuations autour de la valeur moyenne N/2, qui peuvent devenir parfois très importantes (ceci est particulièrement visible lorsque N est petit).

En particulier, quel que soit le nombre de boules N fini, il existe toujours des récurrences à l'état initial, pour lesquelles toutes les boules reviennent dans l'urne A après une durée finie. Mais, comme le temps moyen entre deux récurrences consécutives croît très rapidement avec N, ces récurrences ne nous apparaissent pas lorsque N est très grand.

Version « modèle des chiens et des puces »Modifier

Dans cette version, les deux urnes sont remplacées par deux chiens, et les N boules par N puces, sautant d'un chien à l'autre.

Récurrences et théorème de Kac (1947)Modifier

Récurrences à l'état initialModifier

Il existe des récurrences à l'état initial, caractérisées par une suite dénombrable d'instants   finis pour lesquels toutes les boules reviennent dans l'urne A, c’est-à-dire que l'on a :   (par convention, on pose  ). On peut alors définir une nouvelle suite dénombrable   des durées finies entre deux récurrences consécutives.

Théorème de Kac (1947)Modifier

Il est possible de calculer la durée moyenne entre deux récurrences à l'état initial consécutives :

 

On a le théorème suivant [Kac - 1947] :

 

De plus, on peut montrer que la dispersion des durées autour de leur valeur moyenne, caractérisée par l'écart-type σ, est du même ordre de grandeur :

 

Voir par exemple [Kac-1957].

Solution exacteModifier

Lien avec une marche aléatoireModifier

Le modèle des urnes d'Ehrenfest est formellement similaire à une marche aléatoire non isotrope sur le réseau  , dont la limite continue converge vers le mouvement brownien d'une particule élastiquement liée. En termes probabilistes on parle de convergence vers le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, processus stochastique défini par l'équation différentielle stochastique :

 

Voir par exemple : [Kac-1947] et : [Kac-1957]

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

  • Paul Ehrenfest & Tatiana Ehrenfest ; Ueber zwei bekannte Eingewände gegen das Boltzmannsche H-Theorem, Zeitschrift für Physik 8 (1907), 311-314.
  • Mark Kac ; Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf. Cet article est l'un des six contenus dans : Selected Papers on Noise & Stochastic Processes, Charles Proteus Steinmetz & Nelson Wax (eds.), Dover Publishing, Inc. (1954). Réédité dans la collection Phoenix (2003), ASIN 0486495353.
  • Mark Kac ; Probability and Related Topics in Physical Science, Lectures in Applied Mathematics Series 1a, American Mathematical Society (1957), (ISBN 0-8218-0047-7).
  • Gérard Emch & Chuang Liu ; The logic of thermo-statistical physics, Springer-Verlag (2002), (ISBN 3-540-41379-0).
  • Enrico Scalas, Edgar Martin & Guido Germano ; The Ehrenfest urn revisited: Playing the game on a realistic fluid model, Physical Review E 76 (2007), 011104. ArXiv: cond-mat/0512038.
  • Nils Berglund, « Notre univers est-il irréversible ? » — Images des Mathématiques, CNRS, 2013.

NotesModifier

  1. Pour une revue des fondements conceptuels de la mécanique statistique à cette époque, on pourra lire l'article classique (paru initialement en allemand en 1912) : Paul & Tatiana Ehrenfest ; The Conceptual Foundations of the Statistical Approach in Mechanics, Dover, Inc. (1990), (ISBN 0-486-66250-0). Niveau second cycle universitaire.
  2. D'après l'anglais « dog-flea model ».
  3. Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, American Mathematical Monthly 54(7) (1947), 369-391. Texte au format pdf.