Le modèle de Maxwell décrit un matériau viscoélastique, c'est-à-dire ayant à la fois des propriétés élastiques et visqueuses. Ce modèle fut proposé par James Clerk Maxwell[1] en 1867.

DéfinitionModifier

 
Représentation schématique du modèle de Maxwell.

Le modèle de Maxwell est représenté par un amortisseur purement visqueux et un ressort hookéen mis en série comme l'indique le schéma ci-contre. Dans cette configuration, lorsqu'une contrainte axiale est appliquée, la contrainte totale   et la déformation totale   sont définies de la manière suivante :

 
 

où l'indice A désigne l'amortisseur et l'indice R le ressort.

Les contraintes de l'amortisseur et du ressort sont données respectivement par :

 
 

  est le module élastique associé au ressort et   le coefficient de viscosité associé à l'amortisseur représentant un fluide newtonien.

Dérivons la déformation totale par rapport au temps :

 

En notant la dérivée temporelle par un point, l'équation précédente se réécrit :

 .

En multipliant cette équation par  ,

 

on a fait apparaître le temps de relaxation de Maxwell :

 .

La solution générale de l'équation de Maxwell s'écrit :

 .

Le module de relaxation de la contrainte dans le cadre de ce modèle s'écrit :

 

avec

 

 

On peut remarquer que

 

est l'équation d'un cercle. Ainsi, la représentation de   en fonction de  , dite représentation de Cole-Cole, est un demi cercle.

Remarque : la mise en parallèle d'un ressort et d'un amortisseur donne le modèle de Kelvin-Voigt.

Modèle de Maxwell généraliséModifier

Le modèle de Maxwell généralisé consiste à mettre en parallèle un nombre N fini d'éléments de Maxwell. Chacun de ces éléments répond aux relations énoncées ci-dessus. La contrainte totale est la somme des contraintes de chaque élément :

 .

Dans ce cas, le fluide ne comporte pas qu'un seul temps de relaxation, mais une collection  .

Cette équation peut se réécrire de la manière suivante :

 

où on a défini le module de relaxation des contraintes de cisaillement :

 .

NotesModifier

  1. Articles originaux : J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Trans. Royal Soc., no 157,‎ , p. 49-88 (DOI 10.1098/rstl.1867.0004) ; J.C. Maxwell, « On the dynamical theory of gases », Phil. Mag., vol. 35, no 235,‎ , p. 129-145 et 185-217

Articles connexesModifier