Masse fluide en rotation

Soit un fluide incompressible, autogravitant, en rotation, de masse M, de masse volumique . Le problème est de trouver sa forme.

Pour une rotation faible, la solution de Maclaurin (1742) est la bonne : un ellipsoïde de révolution aplati.

Mais Jacobi découvre en 1834 une nouvelle famille de solutions : un ellipsoïde à trois axes différents.

Dès lors, le problème devient l'objet de recherches mathématiques intenses (Meyer, Riemann, Poincaré, Cartan,...) jusqu'à nos jours.

Historiquement, Darwin-fils avait pensé que lors de la formation de la Terre, la "goutte" en rotation rapide avait pu se séparer donnant naissance à la Lune. Ce scénario est écarté aujourd'hui.

La solution de MaclaurinModifier

Soit un ellipsoïde de révolution aplati, d'aplatissement f = (a-b)/a, d'excentricité e.

La rotation est caractérisée par le paramètre m =  . Comme le volume est donné, V =  , m est proportionnel à  

La solution donnée par Maclaurin est :

 .

A dire vrai, il vaut mieux considérer que le moment cinétique L =   est donné. Alors L =f(e) est monotone.

La solution de JacobiModifier

Jacobi montrera que si L augmente, l'ellipsoïde de révolution est instable ; il faut lui substituer un ellipsoïde triaxial (a>b>c) , avec c/a = 0.58 , et b/a = 1 au point de bifurcation  : la symétrie de révolution est brisée.

La valeur de e =   correspondante est : 0. 812 670 ...

Pour des valeurs plus importantes de L , b diminue , ainsi que c , pour atteindre les valeurs b/a = 0.43 et c/a = 0.34 .

Au-delà, la solution bifurque à nouveau : solutions "piriformes" de Poincaré , etc.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • Chandrasekhar: ellipsoidal figures of equilibrium (Dover, 1987)
  • Landau, tome 2, loi de Newton(§99).
  • Pierre-Simon de Laplace, Traité de mécanique céleste, tome premier, p. 91-110, Imprimerie de Crapelet, Paris, An VII Texte
  • Henri Poincaré, Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation, Acta mathematica, 1885 Texte
  • Henri Poincaré, Les formes d'équilibre d'une masse fluide en rotation, Revue générale des sciences pures et appliquées, no 23, Texte
  • B Globa-Mikhaïenko, Sur quelques nouvelles figures d'équilibre 'une masse fluide en rotation, tome 2, p. 1-78, Journal de mathématiques pures et appliquées, 1916 Texte
  • B Globa-Mikhaïenko, Thèse : Contribution à l'étude des mouvements d'une masse en fluide en mouvement, Gauthier-Villars et Cie éditeurs, Paris, 1920 Texte
  • Pierre Dive, Rotations internes des astres fluides, Librairie scientifique Albert Blanchard, Paris, 1930 Texte
  • S. Chandrasekhar, Ellipsoidal figures of equilibrium : an historical accounts, p. 251-265, Communications on pure and applied mathematics, Vol. XX, 1967 Texte
  • S. Chandrasekhar, The Equilibrium and the Stability of the Dedekind Ellipsoids, p. 1043-1054, Astrophysical Journal, vol. 141, 1965 Texte

Articles connexesModifier