Méthode PN

La méthode PN permet la résolution de l'équation du transfert radiatif (ou équation de Boltzmann) utilisée pour la propagation des particules telles photons, neutrons, neutrinos, etc. Cette méthode été introduite[1] par James Jeans (1917)[2]. Elle consiste en un développement de la solution sur une base de polynômes orthogonaux.

L'équation du transfert radiatifModifier

Dans le cas d'un milieu stationnaire unidimensionnel en espace comportant émission, diffusion élastique (sans changement de fréquence) et absorption la propagation est décrite par l'équation équation intégro-différentielle linéaire suivante

 

  luminance (spectrale ou intégrée),
   variable d'espace
   donne la direction de propagation pour une fonction de phase supposée de révolution,
   angle de colatitude pour des coordonnées sphériques,
  coefficient d'extinction totale,
  coefficient d'absorption,
   coefficient d'extinction par diffusion,
   fonction de phase (supposée entièrement définie par la déviation au cours d'une interaction),
   fonction source volumique.

Mise en œuvre de la méthodeModifier

La base du développement choisie sera :

Le développementModifier

La luminance est supposée de forme suivante, à variables séparées

 

L'orthogonalité des polynômes s'écrit

 

où δij est la fonction de Dirac.

En multipliant l'équation donnant L(x, μ) par Pj et en intégrant sur μ il vient, compte tenu de la relation d'orthogonalité

 

Les premiers polynômes ont une interprétation physique

  • l'énergie volumique correspond à L0
 
où c est la vitesse de la lumière.
 
 

Les moments de Legendre de la fonction de phaseModifier

La déviation au cours d'une interaction est supposée ne dépendre que de du produit scalaire des angles définissant les directions de propagation Ω = (θ, Φ) et Ω' = (θ', Φ') et on définit la déviation par son cosinus α tel que

 

La fonction de phase est développée en polynômes de Legendre

 

où les gi sont les moments de Legendre de la fonction de phase

 

Le premier moment est souvent utilisé pour caractériser la dissymétrie de la fonction de phase, voire pour construire une fonction standard comme celle de Henyey-Greenstein[3].

Les système PNModifier

En multipliant l'équation de transfert par chacun des   et en intégrant sur μ en tenant compte de la propriété d'orthogonalité des polynômes on obtient un système de N+1 équations pour N+2 inconnues  . On fera donc une hypothèse pour clore le système. La plus simple consiste à imposer   mais il existe des méthodes plus élaborées exprimant LN+1 en fonction des termes connus[4].

 

 

On montre[5] que la solution tend vers la solution physique lorsque N → ∞.

Elle est équivalente en tous points (difficulté de mise en œuvre, performances en durée de résolution) à la méthode SN, à l'exception des pathologies, différentes dans les deux cas : cette méthode est sensible au phénomène de Gibbs[6].

Lien avec l'approximation d'EddingtonModifier

L'approximation d'Eddington a été obtenue indépendamment des travaux de James Jeans mais elle constitue en fait la méthode P1. Cette approximation est due à Arthur Eddington[7]. En utilisant l'expression des deux premiers polynômes de Legendre et les quantités définies plus haut le développement s'écrit

 

D'où les quantités

 

Cette dernière expression constitue l'approximation d'Eddington.

Méthode SPNModifier

Cette méthode constitue une simplification de la méthode PN (S pour simplified) proposée par E. M. Gelbart de manière heuristique[8] et justifié ultérieurement par l'analyse asymptotique[9] ou par une approche variationnelle[10]. Dans cette méthode on omet la dérivée pour les valeurs paires de i, d'où

 

En rapportant cette expression dans le système PN on obtient le système SPN : pour i impair

 

Il s'agit d'un système d'équations de type diffusion donc sans difficulté numérique. Le nombre d'équations a été réduit par un facteur 2.

Un exemple simpleModifier

 
Milieu homogène semi-infini ; exposants en fonction de N.

Supposons un milieu homogène semi-infini à diffusion isotrope. Le système PN est alors le système linéaire suivant

 

On suppose que N est impair : avec cette condition la matrice ci-dessus qui est diagonalisable a N + 1 valeurs propres réelles par paires de signe opposé, ce qui justifie le choix d'une valeur impaire. Sa solution se met sous la forme d'une solution générale du système homogène constitué de (N + 1) / 2 exponentielles négatives (les valeurs positives étant exclues pour obtenir une solution finie) et du terme constant S / κa constituant une solution particulière

 

La courbe donnant les valeurs de γi montre la convergence de la méthode avec l'ordre. Les faibles valeurs correspondantes aux termes variant le plus lentement convergent plus rapidement. D'une façon générale l'erreur varie comme N-2[11].

RéférencesModifier

  1. (en) Michael M. Modest, Radiative Heat Transfer, Academic Press, , 822 p. (ISBN 0-12-503163-7, lire en ligne)
  2. (en) J. H. Jeans, « The Equations of Radiative Transfer of Energy », Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, vol. 78,‎ , p. 28-36 (lire en ligne)
  3. (en) J. Patrick Harrington, « The Henyey-Greenstein phase function », sur University of Maryland
  4. (en) M. Schäfer, M. Frank et C. D. Levermore, « Diffusive Corrections to PN Approximations », Multiscale Modeling and Simulation, vol. 9, no 1,‎ , p. 1-28
  5. (en) A. M. Sultagazin, « Convergence of the Method of Spherical Harmonics for the Non-Stationary Transport Equation », USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 14, no 1,‎ , p. 165-176
  6. (en) Benjamin Seibold, « StaRMAP », sur Université Temple
  7. (en) A. Eddington, The Internal Constitution of the Stars, Dover, , p. 322
  8. (en) E. M. Gelbart, Simplified Spherical Harmonics Equations and their Use in Shielding Problems (Report WAPD-T-1182 (Rev.1)), Bettis AtomicPower Laboratory,
  9. (en) G. C. Pomraning, « Asymptotic and Variational Derivation of the Simplified PN Approximation », Annals of Nuclear Energy, vol. 20, no 9,‎ , p. 623-637
  10. (en) R. G. McClaren, « Theoretical Aspects of the Simplified Pn Equations », Transport Theory and Statistical Physics, vol. 39,‎ , p. 73-109
  11. (en) B. Davison, « On the Rate of Convergence of the Spherical Harmonics, Isotropic Scattering », Canadian Journal of Physics, vol. 38, no 11,‎ , p. 1536-1545

Voir aussiModifier