Lois de De Morgan

identités entre propositions logiques

Les lois de De Morgan sont des identités entre propositions logiques. Elles ont été formulées par le mathématicien britannique Augustus De Morgan (1806-1871).

Représentation graphique des lois de De Morgan.

Énoncé en françaisModifier

En logique classique, la négation de la disjonction de deux propositions est équivalente à la conjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A ou B) » est identique à « (non A) et (non B) ».

Toujours en Logique classique, la négation de la conjonction de deux propositions est équivalente à la disjonction des négations des deux propositions, ce qui signifie que « non(A et B) » est identique à « (non A) ou (non B) ».

Énoncé mathématiqueModifier

Sachant que la conjonction s'exprime par le signe :  , la disjonction s'exprime par le signe :   et la négation d'une formule   s'écrit  .

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De ces quatre implications valides en logique classique, trois sont valides en logique intuitionniste, mais pas :  

JustificationModifier

Pour justifier ces formules, on peut par exemple, utiliser la méthode sémantique des tables de vérité. On rappelle que deux formules sont équivalentes si et seulement si elles ont la même table de vérité.

 
             
0 0 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1
1 1 1 0 0 0 0
 
             
0 0 0 1 1 1 1
0 1 1 0 1 0 0
1 0 1 0 0 1 0
1 1 1 0 0 0 0

GénéralisationModifier

Les énoncés de De Morgan se généralisent à   propositions par récurrence, en utilisant l'associativité des lois   et   ainsi que leur double distributivité. Comme les deux preuves sont symétriques (il suffit de remplacer une loi par l'autre), on ne donne ici que celle pour la première loi.

  • Vrai au rang  
  • Si vrai au rang  

 

 

 

 


  • La généralisation de ces règles au-delà du fini donne les règles d'interdéfinissabilité des quantificateurs universel et existentiel du calcul des prédicats classique. Le quantificateur universel pouvant être vu comme une généralisation de la conjonction et le quantificateur existentiel pouvant être vu comme une généralisation de la disjonction (non exclusive).

 

 

Et de ces quatre implications classiques, seule   n'est pas valide en logique intuitionniste.

En logique intuitionnisteModifier

En logique intuitionniste, on n'a qu'une forme affaiblie des lois de De Morgan. Il n'y a que les implications

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Démontrons la première implication. Il nous faut pour cela démontrer qu'en admettant   on a  . Il faut donc montrer que de   on tire   et que de   on tire  . Démontrons le premier. Cela revient à démontrer que de   et de  , on a  . Or  . Il suffit donc d'appliquer deux fois le modus ponens (élimination de l'implication).