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Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Borel.
Ne doit pas être confondu avec loi du zéro-un de Kolmogorov.

La loi du zéro-un de Borel a été publiée en 1909 dans l'article Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques[1], par Émile Borel, en vue de la démonstration du théorème des nombres normaux, et en vue d'applications aux propriétés des fractions continues. Un peu plus tard, Cantelli aurait remarqué et utilisé le fait que, pour l'un des deux sens, l'hypothèse d'indépendance est superflue, ce qui conduit au lemme de Borel-Cantelli, d'un usage courant en probabilités : un exemple phare est sûrement la démonstration, par Kolmogorov, de la loi forte des grands nombres.

Sommaire

ÉnoncéModifier

Dans un espace probabilisé   considérons une suite   d'éléments de   (ou "événements"). La loi du zéro-un de Borel stipule que :

Loi du zéro-un de Borel — Si les événements   sont indépendants, alors
 
vaut 0 ou 1 suivant que la série de terme général   est convergente ou divergente.

Limite supérieure d'ensemblesModifier

Définition —  La limite supérieure   d'une suite   de parties d'un ensemble   est l'ensemble des éléments   de   tels que l'assertion   soit vérifiée pour une infinité d'indices  .

En d'autres termes, on peut dire que   si et seulement si l'ensemble   est infini, ou bien non borné. Une formulation équivalente est la suivante : pour tout  , on peut trouver   tel que  . Cette dernière formulation fournit une écriture commode de la limite supérieure d'ensembles à l'aide d'opérations élémentaires sur les ensembles :

 

Sous l'influence de la terminologie anglo-saxonne, on dira aussi parfois que   si et seulement si   "infiniment souvent" ou bien "infinitely often", d'où la notation rencontrée dans certains ouvrages :

 

La définition "  si et seulement si   appartient à une infinité de  " peut induire en erreur : si, par exemple, toutes les parties   sont égales, il se peut que   appartienne à   pour une infinité d'indices  , et il se peut donc que   appartienne à   sans pour autant qu'  appartienne à une infinité de   (puisqu'il n'existe, au fond, qu'un seul  ).

Voir aussiModifier

NotesModifier

  1. Émile Borel, « Les probabilités dénombrables et leurs applications arithmétiques », Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, vol. 27, no 1,‎ , p. 247-271 (ISSN 0009-725X et 1973-4409, DOI 10.1007/BF03019651, lire en ligne).

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