Loi de Peirce

En logique, la loi de Peirce est la proposition désigne l'implication. Elle a été proposée par le logicien et philosophe Charles Sanders Peirce[1].

Cette formule, valide en logique classique, est invalide en logique intuitionniste. Cela signifie que, bien que ne possédant pas de référence explicite à la négation, la loi de Peirce est directement liée à la façon dont on traite celle-ci. Ainsi, on peut montrer que, en logique intuitionniste, il y a équivalence entre loi de Peirce, règle d'élimination de la double négation ou principe du tiers exclu. L'ajout d'un seul de ces principes à la logique intuitionniste redonne la totalité de la logique classique.

Démonstration de la loi de Peirce en logique classiqueModifier

L'un des principes de la logique classique est le raisonnement par l'absurde. Pour montrer une proposition  , on suppose que   est faux. Si on aboutit à une contradiction, alors on déduit  .

Pour montrer que l'implication   est valide, nous allons donc supposer   et nous devons montrer que   est vraie. Raisonnons par l'absurde et supposons que   est fausse. Mais si   est fausse, par contre l'implication   est vraie. Comme on a supposé   et que l'hypothèse   est vraie, la conclusion   est également vraie, d'où une contradiction.

On peut aussi la démontrer en se servant de quelques principes comme la contraposée, les lois de De Morgan et le principe du tiers exclu, également valides en logique classique. La loi de Peirce est en effet équivalente à :

 

 

 

 

Ce qui est vrai selon le principe du tiers exclu  .

Logique intuitionniste et loi de PeirceModifier

La loi de Peirce n'est pas valide en logique intuitionniste. La logique intuitionniste traite la négation de la façon suivante (on suppose le lecteur familier avec des notations qui sont précisées par exemple dans l'article calcul des propositions) :

  • Si on a à la fois une proposition   et sa négation  , alors on a une contradiction, notée   (règle dite d'élimination de la négation) ;
  • Si une proposition   conduit à une contradiction, alors c'est que   est valide (règle dite d'introduction de la négation). Dans ce sens,   n'est rien d'autre qu'un synonyme de   ;
  • Si un raisonnement conclut à une contradiction, alors on peut en déduire la validité de toute proposition (règle dite de l'absurdité intuitionniste). Cette règle est remplacée, en logique classique, par le raisonnement par l'absurde.


Considérons alors les règles suivantes :

  • Elimination de la double négation :  
  • Tiers exclu :  
  • Contraposition :  

Plaçons-nous dans le cadre de la logique intuitionniste et ajoutons à cette logique la loi de Peirce. Nous allons montrer que les trois règles précédentes sont valides et qu'on obtient la logique classique. Remarquons d'abord que, si on applique la loi de Peirce en remplaçant   par une proposition contradictoire, on obtient la variante suivante  .


Preuve de l'élimination de la double négation : Soit comme hypothèse une proposition de la forme  . Si on suppose de plus  , on obtient une contradiction (une proposition et sa négation) d'où l'on peut déduire   par la règle de l'absurdité intuitionniste. On a donc montré l'implication  . Appliquant la variante ci-dessus de la loi de Peirce, on en déduit la validité de  . On a donc montré que  .

L'élimination de la double négation est à la base du raisonnement par l'absurde. En effet, si   conduit à une contradiction, alors on a   par la règle d'introduction de la négation, et donc on a   par élimination de la double négation. On a donc montré que l'adjonction de la loi de Peirce à la logique intuitionniste redonne bien la logique classique.


Preuve du tiers exclu : c'est en fait une conséquence directe de l'élimination de la double négation ou du raisonnement par l'absurde. Si on a   alors on a  , ce qui est contradictoire. Donc on a   et donc   par élimination de la double négation.


Preuve de la contraposition : c'est également une conséquence de l'élimination de la double négation. Soit la proposition  . Montrons que  . Pour cela supposons   et montrons  . Si on avait  , on aurait  , ce qui est contradictoire avec l'hypothèse. On a donc  , et par élimination de la double négation, on a  .

RéférencesModifier

  1. C. S. Peirce, « On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation », American Journal of Mathematics 7, 180–202 (1885). Reproduit dans Collected Papers of Charles Sanders Peirce 3.359–403 et Writings of Charles S. Peirce: A Chronological Edition 5, 162–190.

Voir aussiModifier