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Loi de Laplace (thermodynamique)

Loi en thermodynamique
Page d'aide sur l'homonymie Pour les articles homonymes, voir Loi de Laplace.

En thermodynamique, la loi de Laplace est une relation reliant la pression et le volume d'un gaz parfait subissant une transformation isentropique ou une transformation adiabatique et réversible[1],[2]. Cette relation peut être déclinée avec la température et le volume, ou la température et la pression.

La loi de Laplace suppose des capacités thermiques constantes, or les capacités thermiques d'un gaz parfait dépendent de la température. Cette loi ne s'applique en conséquence qu'à des transformations dans lesquelles la variation de température est peu importante, pour lesquelles on peut approximativement considérer les capacités thermiques comme constantes[3],[4].

Sommaire

Énoncé mathématiqueModifier

Au cours d'une transformation isentropique d'un gaz parfait on a les relations suivantes :

 
 
 

avec :

  •   la pression du gaz ;
  •   le volume occupé par le gaz ;
  •   la température du gaz ;
  •   le coefficient de Laplace, ou indice adiabatique du gaz parfait (sans unité), c'est-à-dire :
  le rapport des capacités thermiques   à pression constante (isobare) et   à volume constant (isochore) ;
  •  ,  ,   trois constantes ; elles ne dépendent que du gaz parfait étudié et des conditions initiales de pression, température et volume de la transformation ( ,   et  ).

Limitations

Les relations de Laplace ne sont valables :
  • que pour un gaz parfait ou un mélange de gaz parfaits ;
  • que si l'on suppose que   ne dépend pas de la température (pour des températures proches de 20 °C on pose généralement   pour un gaz monoatomique et   pour un gaz diatomique) ;
  • que lors d'une transformation isentropique.

Démonstration de la loi de LaplaceModifier

Le premier principe de la thermodynamique énonce que :

« Au cours d'une transformation quelconque d'un système fermé, la variation de son énergie est égale à la quantité d'énergie échangée avec le milieu extérieur, sous forme de chaleur et sous forme de travail. »

Dans le cas d'un système thermodynamique, seule l'énergie interne varie.

 

Le travail mécanique   est le produit de la variation de volume   par la pression extérieure   exercée pour ce changement de volume :

 

Si ce processus est adiabatique, donc sans échange de chaleur :  , d'où :

 

Considérons maintenant l'enthalpie du système ( ) et sa variation :

 
 
 

Si nous supposons que ce gaz se comporte comme un gaz parfait, les variations, à quantité de matière fixe, de l'énergie interne et de l'enthalpie du système ne dépendent que de la température, selon respectivement la loi de Joule et Gay-Lussac et la loi de Joule-Thomson. Il s'ensuit que :

 
 

  et   sont respectivement les capacités thermiques à volume et pression constants et   est la température. L'unité de   et   est le joule par kelvin (J/K). Nous en déduisons deux relations :

  • par l'énergie interne :  ,
  • par l'enthalpie :  ,

d'où également :

 
 

Soit   le coefficient de Laplace, ou indice adiabatique, défini par le rapport des capacités thermiques isobare et isochore  , que l'on peut également définir à partir des capacités thermiques molaires   et   si la transformation concerne   moles de gaz parfait, ou des capacités thermiques massiques (ou spécifiques)   et   si la transformation concerne une masse   de gaz parfait :

 
 
 

On réécrit la relation établie plus haut :

 .

Intégrons cette relation entre deux états   et  , pour la quantité de gaz   fixe, avec :

 

Pour un gaz parfait, les capacités thermiques molaires   et   ne dépendent que de la température, selon respectivement la loi de Joule et Gay-Lussac et la loi de Joule-Thomson. On considèrera ici que lors de la transformation   est constant, malgré le changement de température. On obtient :

 
 

et donc :

  (1)

Si l'on substitue dans (1) :

 
 

on obtient :

  (2)

Si l'on substitue également dans (1) :

 
 

on obtient :

  (3)

En toute rigueurModifier

En toute rigueur, les capacités thermiques molaires   et   d'un gaz parfait, et par conséquent  , dépendent de la température[3]. La loi de Laplace n'est donc pas exacte. Considérons un gaz parfait subissant une transformation isentropique, soit  . Si l'on connait les conditions initiales de la transformation (quantité de gaz   et au moins deux des trois conditions dans  ), il suffit de connaitre une condition de l'état final (pression ou température ou volume) pour en déduire toutes les autres :

  • connaissant la pression finale   de la transformation isentropique, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale   selon :
 
Réciproquement, connaissant la température finale  , on peut ainsi calculer la pression finale  .
Puis l'on trouve le volume final   selon :
 
  • connaissant le volume final   de la transformation isentropique, connaissant l'expression de l'entropie d'un gaz parfait pur ou en mélange de gaz parfaits, on calcule d'abord la température finale   selon :
 
Réciproquement, connaissant la température finale  , on peut ainsi calculer le volume final  .
Puis l'on trouve la pression finale   selon :
 

Application en météorologie et en vol à voileModifier

L'air est constitué principalement d'azote   et de dioxygène  . Pour ces gaz diatomiques à l'état de gaz parfait on a  [5].

On remarquera que si l'on extrait les chaleurs spécifiques massiques à partir de tables[6], on obtient à 1013.15 hPa et T = 300 K :

  •   = 1,005 kJ/(g.K) ;
  •   = 0,718 kJ/(g.K).

et donc   ≈ 1,4 = 7/5.

La loi de Laplace s'applique donc particulièrement bien à l'atmosphère. On peut alors calculer le gradient thermique adiabatique (ou adiabatique sèche) qui est de 9,76 K/km. Ce nombre est extrêmement important car à partir de sondages atmosphériques, on peut déterminer si l'atmosphère est stable ou est instable. Cela déterminera si des orages vont se former ou si les pilotes de planeur peuvent exploiter les ascendances thermiques.

Notes et référencesModifier

NotesModifier

  1. En toute rigueur il n'existe pas d'équivalence directe entre la propriété d'isentropie et celle d'adiabaticité-réversibilité. Si l'application du second principe de la thermodynamique donne de manière évidente l'implication suivante : une réaction adiabatique et réversible est isentropique, il ne permet pas de retourner cette implication. En effet, si l'entropie d'un système est constante, on peut seulement conclure que le terme de création est égal à l'opposé du terme d'échange. En revanche si l'on rajoute à l'hypothèse d'isentropie celle de l'adiabaticité (ou de la réversibilité), alors on établit l'implication suivante : une réaction isentropique et adiabatique (respectivement réversible) est réversible (respectivement adiabatique).
  2. On peut toutefois aboutir à la loi de Laplace soit sous l'hypothèse d'une transformation adiabatique réversible (cf démonstration de l'article), soit sous l'hypothèse d'une transformation isentropique (la démonstration utilise alors l'expression de l'entropie pour un gaz parfait).
  3. a et b Roland Solimando, Louis Schuffenecker, Jean-Noël Jaubert, « Propriétés thermodynamiques du corps pur », paragraphe 1.4.2 p. 5, paragraphe 1.5.2 p. 6, Techniques de l'ingénieur, AF 050, 2000
  4. Richard Taillet, Loïc Villain, Pascal Febvre, « Dictionnaire de physique », p. 422,  éd. De Boeck Supérieur, 2018, (ISBN 978-2-8073-0744-5)
  5. (en) Les processus adiabatiques
  6. (en) « Specific Heat Capacities of Air »

BibliographieModifier