Loi de Kumaraswamy

Loi de Kumaraswamy
Densité de probabilité
Fonction de répartition
Paramètres	$a>0\,$ $b>0\,$
Support	$x\in [0,1]\,$
Densité de probabilité	$abx^{a-1}(1-x^{a})^{b-1}\,$
Fonction de répartition	$[1-(1-x^{a})^{b}]\,$
Espérance	${\frac {b\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}})\Gamma (b)}{\Gamma (1+{\tfrac {1}{a}}+b)}}\,$
Médiane	$\left(1-2^{-1/b}\right)^{1/a}$
Mode	$\left({\frac {a-1}{ab-1}}\right)^{1/a}$ pour $a\geq 1,b\geq 1,(a,b)\neq (1,1)$

En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Kumaraswamy ou loi de Kumaraswamy doublement bornée est une loi de probabilité continue dont le support est $\scriptstyle [0,1]$ et dépendant de deux paramètres de forme $a$ et $b$.

Elle est similaire à la loi bêta, mais sa simplicité en fait une loi utilisée spécialement pour les simulations grâce à la forme simple de la densité de probabilité et de la fonction de répartition. Cette loi a été initialement proposée par Poondi Kumaraswamy (en) pour des variables minorées et majorées.

Caractérisations

Fonction de densité

La densité de probabilité de la loi de Kumaraswamy est :

$f(x;a,b)={\begin{cases}abx^{a-1}{(1-x^{a})}^{b-1}&{\hbox{pour }}x\in [0,1]\\0&{\text{sinon. }}\end{cases}}$

fonction de répartition

La fonction de répartition de la loi de Kumaraswamy est :

$F(x;a,b)={\begin{cases}1-(1-x^{a})^{b}&{\hbox{pour }}x\in [0,1]\\0&{\text{sinon}}.\end{cases}}$

Généralisation sur un intervalle quelconque

Dans sa forme simple, la loi a pour support [0,1]. Dans une forme plus générale, la variable normalisée $x$ est remplacée par la variable $z$ non normalisée définie par :

$x={\frac {z-z_{\text{min}}}{z_{\text{max}}-z_{\text{min}}}},\qquad z_{\text{min}}\leq z\leq z_{\text{max}}.\,\!$

Propriétés

Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par

$m_{n}=\mathbb {E} (X^{n})={\frac {b\Gamma \left(1+{\tfrac {n}{a}}\right)\Gamma (b)}{\Gamma \left(1+b+{\tfrac {n}{a}}\right)}}=b\mathrm {B} \left(1+{\frac {n}{a}},b\right)\,$

où Γ est la fonction gamma et Β est la fonction bêta. La variance, l'asymétrie et le kurtosis peuvent être calculés à partir de ces moments ; par exemple, la variance est donnée par :

$\sigma ^{2}=m_{2}-m_{1}^{2}.$

Relation avec la loi bêta

La loi de Kumaraswamy possède des relations étroites avec la loi bêta. On considère $X_{a,b}$ est une variable aléatoire de la loi de Kumaraswamy avec les paramètres a et b. Alors $X_{a,b}$ est la racine a-ième d'une variable aléatoire de loi bêta.

Plus formellement, notons $Y_{1,b}$ est une variable aléatoire de loi bêta avec pour paramètres $\alpha =1$ et $\beta =b$. il existe alors une relation entre $X_{a,b}$ et $Y_{1,b}$ :

$X_{a,b}=Y_{1,b}^{1/a},$

dont l'égalité est une égalité entre lois, c'est-à-dire :

$\mathbb {P} (X_{a,b}\leq x)=\int _{0}^{x}abt^{a-1}(1-t^{a})^{b-1}dt=\int _{0}^{x^{a}}b(1-t)^{b-1}dt=\mathbb {P} (Y_{1,b}\leq x^{a})=\mathbb {P} (Y_{1,b}^{1/a}\leq x).$

On peut alors introduire des lois de Kumaraswamy en considérant des variables aléatoires de la forme $Y_{\alpha ,\beta }^{1/\gamma }$, avec $\gamma >0$ et où $Y_{\alpha ,\beta }$ est une variable aléatoire de loi bêta avec paramètres $\alpha$ et $\beta$. Les moments de la loi de Kumaraswamy sont donnés par :

$m_{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n/\gamma )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\alpha +\beta +n/\gamma )}}.$

Il est à remarquer que l'on peut obtenir les moments originaux en posant $\alpha =1$, $\beta =b$ et $\gamma =a$. La fonction de répartition n'a cependant pas une forme simple.

Relations avec d'autres lois

• Si $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,1)\,$ alors $X\sim {\mathcal {U}}(0,1)\,$
• Si $X\sim U(0,1)\,$ (loi uniforme continue) alors ${\left(1-{\left(1-X\right)}^{\tfrac {1}{b}}\right)}^{\tfrac {1}{a}}\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,b)\,$
• Si $X\sim {\textrm {Beta}}(1,b)\,$ (loi bêta) alors $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$
• Si $X\sim {\textrm {Beta}}(a,1)\,$ (loi bêta) alors $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$
• Si $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ alors $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$
• Si $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,a)\,$ alors $(1-X)\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$
• Si $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(a,1)\,$ alors $-\ln(X)\sim {\mathcal {E}}(a)\,$, où ${\mathcal {E}}(\lambda )\,$ désigne la loi exponentielle de paramètre λ.
• Si $X\sim {\textrm {Kumaraswamy}}(1,b)\,$ alors $-\ln(1-X)\sim {\mathcal {E}}(b)\,.$

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Kumaraswamy, P., « A generalized probability density function for double-bounded random processes », Journal of Hydrology, vol. 46, n^os 1-2,‎ 1980, p. 79–88 (DOI 10.1016/0022-1694(80)90036-0)
• (en) Fletcher, S.G., and Ponnambalam, K., « Estimation of reservoir yield and storage distribution using moments analysis », Journal of Hydrology, vol. 182, n^os 1-4,‎ 1996, p. 259–275 (DOI 10.1016/0022-1694(95)02946-X)