Lois de Fick

lois caractérisant la diffusion chimique
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Les lois de Fick décrivent la diffusion de la matière dans un milieu binaire. Elles ont été établies par Adolf Fick[1] en 1855.

La diffusion moléculaire d'un point de vue microscopique et macroscopique. Les molécules solubles sur le côté gauche de la barrière (ligne violette) diffusent pour remplir le volume complet.
En haut : une seule molécule se déplace aléatoirement.
Au milieu : Le soluté remplit le volume disponible par marche aléatoire.
En bas : au niveau macroscopique, le côté aléatoire devient indétectable. Le soluté se déplace des zones où les concentrations sont élevées vers les zones à concentrations plus faibles. Ce déplacement est décrit par la loi de Fick.

Reliant le flux de matière au gradient de concentration, la première loi de Fick est analogue à la loi de Fourier pour la chaleur, et la seconde (qui se déduit de la première) à l'équation de la chaleur introduite par Joseph Fourier[2] en 1822. Ce type de loi nommée loi de diffusion en mathématiques apparaît dans les systèmes décrivant un transport (masse, énergie, etc.) chaque fois que l'on peut séparer les échelles microscopiques d'un phénomène décrit par une équation cinétique comme l'équation de Boltzmann et les échelles du milieu continu macroscopique.

La première loi, au départ empirique, a été justifiée et généralisée dans le cas d'un milieu multicomposant sous le nom d'équations de Stefan-Maxwell d'après les travaux de Maxwell pour les gaz[3] en 1866 et Josef Stefan pour les liquides[4] en 1871.

Première loi de FickModifier

Forme généraleModifier

La loi exprime une relation linéaire entre le flux de matière et le gradient de concentration de celle-ci :

 

avec

  flux massique (kg m−2 s−1),
  masse volumique (kg m−3),
  coefficient de diffusion binaire (m2 s−1),
  fraction massique (sans unité).

PropriétéModifier

Les quantités contenues dans l'équation sont telles que   (symétrie de l'interaction entre les particules i et j) et   (par définition de la fraction massique).

On en déduit que la diffusion ne transporte pas globalement de masse, elle ne fait que répartir différemment celle-ci :

 

Cette propriété résulte en fait de la définition de la vitesse d'un fluide comme la vitesse d'ensemble (vitesse barycentrique, appelée généralement "vitesse", sans qualificatif) transportant globalement la masse et de la vitesse de diffusion transportant une composante de celle-ci par rapport au barycentre.

Pour un solutéModifier

On peut exprimer cette loi sous une autre forme pour un milieu incompressible où   en divisant par la masse molaire   (kg mol−1) du soluté :

 

avec

  : flux molaire (mol m−2 s−1),
  : concentration molaire (mol m−3).

On note que  

Seconde loi de FickModifier

On peut définir une loi de conservation pour une variable extensive   entraînée à la vitesse   et comportant un terme de production volumique   par :

 

Dans notre cas on prend  ,   et  , ce qui donne dans le cas général :

 

Dans le cas d'un liquide ou plus généralement d'un fluide incompressible, en divisant par   :

 

Cette loi de conservation est appelée équation de la diffusion ou seconde loi de Fick. Elle est en tout point analogue à l'équation de la chaleur. On dispose donc pour l'analyse de tout l'arsenal théorique et numérique liée à celle-ci.

Notes et référencesModifier

  1. (de) Adolf Fick, « Über Diffusion », Annalen der Physik und Chemie, vol. 94,‎ , p. 59–86 (lire en ligne)
  2. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur, [détail des éditions].
  3. (en) James Clerk Maxwell, « On the dynamical theory of gases », The Scientific Papers of J. C. Maxwell, 1965, Volume 2, pp. 26–78 [1]
  4. (de) Josef Stefan, « Über das Gleichgewicht und Bewegung, insbesondere die Diffusion von Gemischen », Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften Wien, 2te Abteilung a, 1871, 63, 63-124.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Articles connexesModifier