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Liste des groupes d'espace

liste d'un projet Wikimedia

Il existe 230 types de groupes d'espace en trois dimensions, dénommés par un index numérique et un symbole d'Hermann-Mauguin, appelé aussi symbole international (abrégé, complet ou étendu). Les symbole est parfois donné avec des espaces pour une meilleure lisibilité. À chaque type de groupe ponctuel de symétrie cristallographique correspond un ou plusieurs types de groupe d'espace.

Sommaire

SymbolesModifier

Dans la notation de Hermann-Mauguin, les groupes d'espace sont nommés par un symbole qui contient une lettre majuscule décrivant le type de réseau et, pour chaque direction de symétrie du réseau, les éléments de symétrie. Lorsque plusieurs éléments de symétrie coexistent le long d’une direction de symétrie, dans le symbole du groupe d’espace on en choisit un selon la règle de priorité suivante :

  • les axes de rotation sont prioritaires par rapport aux axes hélicoïdaux ayant la même composante de rotations ;
  • les miroirs sont choisis selon la priorité suivante : m>e>a,b,c>n>d.

Des exceptions existent toutefois, notamment dans le cas des groupes I222 vs. I212121 et de leur supergroupes cubiques I23 vs. I213. Dans ces groupes, un axe de rotation et un axe hélicoïdal coexistent le long des trois directions [100], [010], [001]. Dans I222 et I23 les axes de rotation se croisent en un point, alors que cela n’est pas vrai pour I212121 et I213. Pour différencier ces deux paires de groupes, la convention ci-dessous n’est pas suivie pour I212121 et I213.

Le plan de réflexion m est le seul que l'on peut trouver dans un groupe ponctuel. Dans un groupe d'espace, en revanche, on trouve aussi des miroirs translatoirs ou plans de glissement, désignés par a, b ou c lorsque la direction de glissement est parallèle à un vecteur de base. Selon le choix de la maille, on trouve aussi le glissement n qui est un glissement le long de la moitié d'une diagonale d'une face de la maille, et le glissement d qui est le long d'un quart d'une diagonale d'une face ou dans l'espace de la maille unitaire. Le glissement d est souvent appelé le plan de glissement du diamant car il apparaît dans la structure de diamant.

  •  ,   ou  , plan de translation de cette face le long de la moitié d'un vecteur de la maille unitaire perpendiculaire à la face.
  •  , plan de translation le long de la moitié de la diagonale d'une face.
  •  , plan de translation le long d'un quart de la diagonale d'une face.
  •  , deux translations selon le même plan de translation et une autre le long de la somme de deux vecteurs de la moitié de deux paramètres de la maille.

Un axe de rotation peut être remplacé par un axe hélicoïdal et est noté par le nombre n, qui correspond à l'angle de rotation de cet axe :  . La longueur de la translation est alors ajoutée sous la forme d'un indice indiquant quelle est sa mesure le long de l'axe, c'est-à-dire la fraction du vecteur du paramètre de la maille parallèle. Par exemple, 21 est une rotation à 180 °, suivie d'une translation de ½ selon la vecteur de la maille parallèle à l'axe de rotation. 31 correspond à une rotation de 120° suivie d'une translation de la moitié du vecteur de la maille parallèle à l'axe de rotation.

Les axes hélicoïdaux possibles sont: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64 et 65.

Un type de groupe d'espace peut avoir jusqu'à trois symboles d'Hermann-Mauguin:

  • le symbole court, qui ne montre le long de chaque direction de symétrie que le nombre indispensable d'éléments de symétrie pour générer et représenter le groupe ;
  • le symbole complet, qui montre chaque type d'élément de symétrie le long de chaque direction de symétrie;
  • le symbole étendu, bâtit sur le symbole court mais qui montre les éléments parallèles entre eux.

Par exemple, le groupe nº 72 est représente par le symbol court Ibam, le symnol complet I2/b2/a2/m et le symbol étendu ci-dessous.

I b a m
c c n

Dans la notation Schoenflies, le symbole d'un groupe d'espace est représenté par le symbole du groupe ponctuel correspondant avec un exposant supplémentaire. Cet exposant ne donne aucune information supplémentaire sur les éléments de symétrie du groupe d'espace. Il est lié à l'ordre dans lequel Shoenflies a décrit ces groupes d'espace.

Dans la notation Fedorov, le type de groupe d'espace est noté s (symmorphique), h (hémisymmorphique) ou a (asymmorphique). Cette lettre est suivie d'un nombre lié à l'ordre dans lequel Fedorov a décrit ces groupes d'espace. Les groupes d'espace qui correspondent au même groupe ponctuel peuvent être classés en symmorphiques (73), hémisymmorphiques (54) et asymmorphiques (103):

  • dans les groupes symmorphiquse le groupe de symétrie du site de la position de Wyckoff de moindre multiplicité est isomorphe du groupe ponctuel; les symboles des ces groupes ne présentent, outre que la lettre indiquant le type de maille conventionnelle, que des éléments de symétrie sans translation, car les opérations correspondantes peuvent être choisies, avec les translations, comme génèrateurs du groupe d'espace;
  • dans les groupes hémisymmorphiques, le groupe de symétrie du site de la position de Wyckoff de moindre multiplicité est un sous-groupe d'indice 2 du groupe correspondant dans le groupe symmorphique et ne contient que des opérations de première espece;
  • tous les autres groupes d'espace sont asymmorphiques.

Par exemple, pour le groupe ponctuel de symétrie 4/mmm :

  • les groupes d'espace symmorphiques sont P4/mmm ( , 36s) et I4/mmm ( , 37s)
  • les groupes d'espace hémisymmorphiques doivent contenir une combinaison axiale 422, ce sont P4/mcc ( , 35h), P4/nbm ( , 36h), P4/nnc ( , 37h) et I4/mcm ( , 38h).

Liste des groupes tricliniquesModifier

Réseau de Bravais
triclinique (aP)
 
Système cristallin triclinique
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
1 1 P1 P 1   1s  
2 1 P1[1] P 1   2s  

Liste des groupes monocliniquesModifier

Réseaux de Bravais monocliniques
Simple
(mP)
Centré faces C
(mC)
   
Système cristallin monoclinique
Numéro Groupe ponctuel Nom abrégé Noms complets Schoenflies Fedorov Shubnikov
3 2 P2 P 1 2 1 P 1 1 2   3s  
4 2 P21 P 1 21 1 P 1 1 21   1a  
5 2 C2 C 1 2 1 B 1 1 2   4s  
6 m Pm P 1 m 1 P 1 1 m   5s  
7 m Pc P 1 c 1 P 1 1 b   1h  
8 m Cm C 1 m 1 B 1 1 m   6s  
9 m Cc C 1 c 1 B 1 1 b   2h  
10 2/m P2/m P 1 2/m 1 P 1 1 2/m   7s  
11 2/m P21/m P 1 21/m 1 P 1 1 21/m   2a  
12 2/m C2/m C 1 2/m 1 B 1 1 2/m   8s  
13 2/m P2/c P 1 2/c 1 P 1 1 2/b   3h  
14 2/m P21/c[2] P 1 21/c 1 P 1 1 21/b   3a  
15 2/m C2/c[3] C 1 2/c 1 B 1 1 2/b   4h  

Liste des groupes orthorhombiquesModifier

Réseaux de Bravais orthorhombiques
Primitif
(oP)
Centré
(oI)
centré faces C
(oC)
Faces centrées
(oF)
       
Système cristallin orthorhombique
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
16 222 P222 P 2 2 2   9s  
17 222 P2221 P 2 2 21   4a  
18 222 P21212 P 21 21 2   7a      
19 222 P212121 P 21 21 21   8a      
20 222 C2221 C 2 2 21   5a  
21 222 C222 C 2 2 2   10s  
22 222 F222 F 2 2 2   12s  
23 222 I222 I 2 2 2   11s  
24 222 I212121 I 21 21 21   6a  
25 mm2 Pmm2 P m m 2   13s  
26 mm2 Pmc21 P m c 21   9a  
27 mm2 Pcc2 P c c 2   5h  
28 mm2 Pma2 P m a 2   6h  
29 mm2 Pca21 P c a 21   11a  
30 mm2 Pnc2 P n c 2   7h  
31 mm2 Pmn21 P m n 21   10a  
32 mm2 Pba2 P b a 2   9h  
33 mm2 Pna21 P n a 21   12a  
34 mm2 Pnn2 P n n 2   8h  
35 mm2 Cmm2 C m m 2   14s  
36 mm2 Cmc21 C m c 21   13a  
37 mm2 Ccc2 C c c 2   10h  
38 mm2 Amm2 A m m 2   15s  
39 mm2 Aem2 A e m 2   11h  
40 mm2 Ama2 A m a 2   12h  
41 mm2 Aea2 A e a 2   13h  
42 mm2 Fmm2 F m m 2   17s  
43 mm2 Fdd2 F dd2   16h  
44 mm2 Imm2 I m m 2   16s  
45 mm2 Iba2 I b a 2   15h  
46 mm2 Ima2 I m a 2   14h  
47   Pmmm P 2/m 2/m 2/m   18s  
48   Pnnn P 2/n 2/n 2/n   19h  
49   Pccm P 2/c 2/c 2/m   17h  
50   Pban P 2/b 2/a 2/n   18h  
51   Pmma P 21/m 2/m 2/a   14a  
52   Pnna P 2/n 21/n 2/a   17a  
53   Pmna P 2/m 2/n 21/a   15a  
54   Pcca P 21/c 2/c 2/a   16a  
55   Pbam P 21/b 21/a 2/m   22a  
56   Pccn P 21/c 21/c 2/n   27a  
57   Pbcm [4] P 2/b 21/c 21/m   23a  
58   Pnnm P 21/n 21/n 2/m   25a  
59   Pmmn P 21/m 21/m 2/n   24a  
60   Pbcn P 21/b 2/c 21/n   26a  
61   Pbca P 21/b 21/c 21/a   29a  
62   Pnma [5] P 21/n 21/m 21/a   28a  
63   Cmcm[6] C 2/m 2/c 21/m   18a  
64   Cmce C 2/m 2/c 21/e   19a  
65   Cmmm C 2/m 2/m 2/m   19s  
66   Cccm C 2/c 2/c 2/m   20h  
67   Cmme C 2/m 2/m 2/e   21h  
68   Ccce C 2/c 2/c 2/e   22h  
69   Fmmm F 2/m 2/m 2/m   21s  
70   Fddd F 2/d 2/d 2/d   24h  
71   Immm I 2/m 2/m 2/m   20s  
72   Ibam I 2/b 2/a 2/m   23h  
73   Ibca I 2/b 2/c 2/a   21a  
74   Imma I 2/m 2/m 2/a   20a  

Liste des groupes tétragonauxModifier

Réseaux de Bravais tétragonaux
Primitif
(tP)
Centré
(tI)
   
Système cristallin tétragonal
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
75 4 P4 P 4   22s  
76 4 P41 P 41   30a  
77 4 P42 P 42   33a  
78 4 P43 P 43   31a  
79 4 I4 I 4   23s  
80 4 I41 I 41   32a  
81 4 P4 P 4   26s  
82 4 I4 I 4   27s  
83 4/m P4/m P 4/m   28s  
84 4/m P42/m P 42/m   41a  
85 4/m P4/n P 4/n   29h  
86 4/m P42/n P 42/n   42a  
87 4/m I4/m I 4/m   29s  
88 4/m I41/a I 41/a   40a  
89 422 P422 P 4 2 2   30s  
90 422 P4212 P4212   43a      
91 422 P4122 P 41 2 2   44a  
92 422 P41212 P 41 21 2   48a      
93 422 P4222 P 42 2 2   47a  
94 422 P42212 P 42 21 2   50a      
95 422 P4322 P 43 2 2   45a  
96 422 P43212 P 43 21 2   49a      
97 422 I422 I 4 2 2   31s  
98 422 I4122 I 41 2 2   46a  
99 4mm P4mm P 4 m m   24s  
100 4mm P4bm P 4 b m   26h  
101 4mm P42cm P 42 c m   37a  
102 4mm P42nm P 42 n m   38a  
103 4mm P4cc P 4 c c   25h  
104 4mm P4nc P 4 n c   27h  
105 4mm P42mc P 42 m c   36a  
106 4mm P42bc P 42 b c   39a  
107 4mm I4mm I 4 m m   25s  
108 4mm I4cm I 4 c m   28h  
109 4mm I41md I 41 m d   34a  
110 4mm I41cd I 41 c d   35a  
111 42m P42m P 4 2 m   32s  
112 42m P42c P 4 2 c   30h      
113 42m P421m P 4 21 m   52a  
114 42m P421c P 4 21 c   53a  
115 42m P4m2 P 4 m 2   33s  
116 42m P4c2 P 4 c 2   31h  
117 42m P4b2 P 4 b 2   32h  
118 42m P4n2 P 4 n 2   33h  
119 42m I4m2 I 4 m 2   35s  
120 42m I4c2 I 4 c 2   34h  
121 42m I42m I 4 2 m   34s  
122 42m I42d I 4 2 d   51a  
123 4/m 2/m 2/m P4/mmm P 4/m 2/m 2/m   36s  
124 4/m 2/m 2/m P4/mcc P 4/m 2/c 2/c   35h  
125 4/m 2/m 2/m P4/nbm P 4/n 2/b 2/m   36h  
126 4/m 2/m 2/m P4/nnc P 4/n 2/n 2/c   37h  
127 4/m 2/m 2/m P4/mbm P 4/m 21/b 2/m   54a  
128 4/m 2/m 2/m P4/mnc P 4/m 21/n 2/c   56a  
129 4/m 2/m 2/m P4/nmm P 4/n 21/m 2/m   55a  
130 4/m 2/m 2/m P4/ncc P 4/n 21/c 2/c   57a  
131 4/m 2/m 2/m P42/mmc P 42/m 2/m 2/c   60a  
132 4/m 2/m 2/m P42/mcm P 42/m 2/c 2/m   61a  
133 4/m 2/m 2/m P42/nbc P 42/n 2/b 2/c   63a  
134 4/m 2/m 2/m P42/nnm P 42/n 2/n 2/m   62a  
135 4/m 2/m 2/m P42/mbc P 42/m 21/b 2/c   66a  
136 4/m 2/m 2/m P42/mnm P 42/m 21/n 2/m   65a  
137 4/m 2/m 2/m P42/nmc P 42/n 21/m 2/c   67a  
138 4/m 2/m 2/m P42/ncm P 42/n 21/c 2/m   65a  
139 4/m 2/m 2/m I4/mmm I 4/m 2/m 2/m   37s  
140 4/m 2/m 2/m I4/mcm I 4/m 2/c 2/m   38h  
141 4/m 2/m 2/m I41/amd I 41/a 2/m 2/d   59a  
142 4/m 2/m 2/m I41/acd I 41/a 2/c 2/d   58a  

Liste des groupes trigonauxModifier

Réseaux de Bravais rhomboédrique et hexagonal
Rhomboédrique
(hR)
Hexagonal
(hP)
   
Système cristallin trigonal
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
143 3 P3 P 3   38s  
144 3 P31 P 31   68a  
145 3 P32 P 32   69a  
146 3 R3 R 3   39s  
147 3 P3 P 3   51s  
148 3 R3 R 3   52s  
149 32 P312 P 3 1 2   45s  
150 32 P321 P 3 2 1   44s  
151 32 P3112 P 31 1 2   72a  
152 32 P3121 P 31 2 1   70a  
153 32 P3212 P 32 1 2   73a  
154 32 P3221 P 32 2 1   71a  
155 32 R32 R 3 2   46s  
156 3m P3m1 P 3 m 1   40s  
157 3m P31m P 3 1 m   41s  
158 3m P3c1 P 3 c 1   39h  
159 3m P31c P 3 1 c   40h  
160 3m R3m R 3 m   42s  
161 3m R3c R 3 c   41h  
162 3 2/m P31m P 3 1 2/m   56s  
163 3 2/m P31c P 3 1 2/c   46h  
164 3 2/m P3m1 P 3 2/m 1   55s  
165 3 2/m P3c1 P 3 2/c 1   45h  
166 3 2/m R3m R 3 2/m   57s  
167 3 2/m R3c R 3 2/c   47h  

Liste des groupes hexagonauxModifier

Réseau de Bravais
hexagonal (hP)
 
Système cristallin hexagonal
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
168 6 P6 P 6   49s  
169 6 P61 P 61   74a  
170 6 P65 P 65   75a  
171 6 P62 P 62   76a  
172 6 P64 P 64   77a  
173 6 P63 P 63   78a  
174 6 P6 P 6   43s  
175 6/m P6/m P 6/m   53s  
176 6/m P63/m P 63/m   81a  
177 622 P622 P 6 2 2   54s  
178 622 P6122 P 61 2 2   82a  
179 622 P6522 P 65 2 2   83a  
180 622 P6222 P 62 2 2   84a  
181 622 P6422 P 64 2 2   85a  
182 622 P6322 P 63 2 2   86a  
183 6mm P6mm P 6 m m   50s  
184 6mm P6cc P 6 c c   44h  
185 6mm P63cm P 63 c m   80a  
186 6mm P63mc P 63 m c   79a  
187 6m2 P6m2 P 6 m 2   48s  
188 6m2 P6c2 P 6 c 2   43h  
189 6m2 P62m P 6 2 m   47s  
190 6m2 P62c P 6 2 c   42h  
191 6/m 2/m 2/m P6/mmm P 6/m 2/m 2/m   58s  
192 6/m 2/m 2/m P6/mcc P 6/m 2/c 2/c   48h  
193 6/m 2/m 2/m P63/mcm P 63/m 2/c 2/m   87a  
194 6/m 2/m 2/m P63/mmc P 63/m 2/m 2/c   88a  

Liste des groupes cubiquesModifier

Réseaux de Bravais cubiques
Primitif
(cP)
Centré
(cI)
Faces centrées
(cF)
     
 
(221) chlorure de césium. Deux couleurs différentes pour deux types d'atome différents.
Système cristallin cubique
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov Fibrifold
195 23 P23 P 2 3   59s   2o
196 23 F23 F 2 3   61s   1o
197 23 I23 I 2 3   60s   4oo
198 23 P213 P 21 3   89a   1o/4
199 23 I213 I 21 3   90a   2o/4
200 2/m 3 Pm3 P 2/m 3   62s   4
201 2/m 3 Pn3 P 2/n 3   49h   4+o
202 2/m 3 Fm3 F 2/m 3   64s   2
203 2/m 3 Fd3 F 2/d 3   50h   2+o
204 2/m 3 Im3 I 2/m 3   63s   8−o
205 2/m 3 Pa3 P 21/a 3   91a   2/4
206 2/m 3 Ia3 I 21/a 3   92a   4/4
207 432 P432 P 4 3 2   68s   4−o
208 432 P4232 P 42 3 2   98a   4+
209 432 F432 F 4 3 2   70s   2−o
210 432 F4132 F 41 3 2   97a   2+
211 432 I432 I 4 3 2   69s   8+o
212 432 P4332 P 43 3 2   94a   2+/4
213 432 P4132 P 41 3 2   95a   2+/4
214 432 I4132 I 41 3 2   96a   4+/4
215 43m P43m P 4 3 m   65s   2o:2
216 43m F43m F 4 3 m   67s   1o:2
217 43m I43m I 4 3 m   66s   4o:2
218 43m P43n P 4 3 n   51h   4o
219 43m F43c F 4 3 c   52h   2oo
220 43m I43d I 4 3 d   93a   4o/4
221 4/m 3 2/m Pm3m P 4/m 3 2/m   71s   4:2
222 4/m 3 2/m Pn3n P 4/n 3 2/n   53h   8oo
223 4/m 3 2/m Pm3n P 42/m 3 2/n   102a   8o
224 4/m 3 2/m Pn3m P 42/n 3 2/m   103a   4+:2
225 4/m 3 2/m Fm3m F 4/m 3 2/m   73s   2:2
226 4/m 3 2/m Fm3c F 4/m 3 2/c   54h   4−−
227 4/m 3 2/m Fd3m F 41/d 3 2/m   100a   2+:2
228 4/m 3 2/m Fd3c F 41/d 3 2/c   101a   4++
229 4/m 3 2/m Im3m I 4/m 3 2/m   72s   8o:2
230 4/m 3 2/m Ia3d I 41/a 3 2/d   99a   8o/4

Notes et référencesModifier

  1. parfois noté C1
  2. ou P21/a, P21/n
  3. parfois noté I2/a ou C2/n
  4. ou Pbnm
  5. ou Pnam
  6. ou Ccmm

Voir aussiModifier

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Articles connexesModifier

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