Liste de fractales par dimension de Hausdorff

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Cet article est une liste de fractales, ordonnées par dimension de Hausdorff croissante.

En mathématiques, une fractale est un espace métrique dont la dimension de Hausdorff (notée δ) est strictement supérieure à la dimension topologique[1]. C'est du moins la définition initialement donnée par Benoît Mandelbrot[2], mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

Fractales déterministesModifier

δ < 1Modifier

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
0 ⇒ donc pas une fractale mais dim box-counting = 1 0 Nombres rationnels La dimension de Hausdorff des ensembles dénombrables vaut toujours zéro. Ces ensembles ne peuvent être fractals. Ajoutons que la dimension "box counting" d'un tel ensemble peut être différent s'il s'agit d'un sous-ensemble dense d'une région ouverte de R. L'ensemble des nombres rationnels a ainsi une dimension box-counting de "1" car sa clôture est R[1].
Calculé 0.538 Attracteur de Feigenbaum   L'attracteur de Feigenbaum (entre les flèches) est l'ensemble des points générés par itérations successives de la fonction logistique pour le paramètre critique  , où le doublement de périodes est infini. Remarque : cette dimension est la même pour toute fonction différentiable et unimodale[3].
  0,6309 Ensemble de Cantor   Construit en retirant le tiers central à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable. Généralisation : L'ensemble de Cantor généralisé se construit en retirant à chaque segment et à la n-ième itération, le segment central de longueur   . Sa dimension fractale vaut alors   et peut prendre toutes les valeurs entre 0 et 1. L'ensemble de Cantor usuel est construit avec  [4].
  0.6942 Ensemble de Cantor asymétrique   Remarquer que la dimension n'est plus  , ni même   (cas symétrique ci-dessus avec  )[5]. Construit en retirant le deuxième quart à chaque itération. Nulle part dense et de mesure nulle mais indénombrable.

  (nombre d'or).

  0.69897 Nombres réels avec décimales paires   Rappelant un ensemble de Cantor[1].
  0,7325 Fractale UNU   Fractale auto-descriptive construite par itérations successives du schéma suivant : u → unu (un « u ») → unuunnunu (un « u », un « n », un « u ») → etc.

1 ≤ δ < 2Modifier

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
1 1.0000 Ensemble de Smith-Volterra-Cantor   Construit en retirant le quart, puis le seizième, le 64e… central à chaque itération. N'est nulle part dense mais est indénombrable et a pour mesure de Lebesgue 1/2. Il a donc pour dimension 1.
  1.0000 Courbe de Takagi ou Blanc-manger   Définie sur l'intervalle unité par  , où   est la fonction « dents de scie ». Cas particulier de la courbe de Takahi-Landsberg :   avec  . La dimension de Hausdorff vaut  [6].
calculé 1.0812 Ensemble de Julia z² + 1/4   Ensemble de Julia pour c = 1/4[7].
Solution s de   1.0933 Frontière de la fractale de Rauzy   Représentation géométrique du système dynamique associé à la substitution de Tribonacci :  ,   et  [8].   est l'une des deux racines complexes conjuguées de  .
  1,12915 Île de Gosper   Baptisée par Mandelbrot (1977). Frontière de la courbe de Gosper.
Mesuré (Box counting) 1.2 Ensemble de Julia pour c=i (dendrite)   Ensemble de Julia pour c = i
  1.2083 Fractale du mot de Fibonacci à 60°   Construite à partir du mot de Fibonacci, avec un angle à 60°. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous [9]. Avec   (nombre d'or).
1.2107 Frontière du tame twindragon   Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)[10].
  1.2465 Frontière de la fractale du mot de Fibonacci   Construite à partir du mot de Fibonacci. Voir aussi la fractale du mot de Fibonacci standard, ci-dessous [9]. Avec   (nombre d'or).
1,26 Attracteur de Hénon   La carte de Hénon canonique (a = 1,4 et b = 0.3) possède δ = 1,261 ± 0,003. Différents paramètres conduisent à différentes valeurs de δ.
  1,2619 Courbe de Koch   En juxtaposant 3 fois cette courbe en triangle on obtient le flocon de Koch et l'anti-flocon de Koch si elle est inversée.
  1,2619 Frontière de la courbe Terdragon   L-System : semblable à la courbe du dragon avec un angle de 30°. Le Fudgeflake est construit en juxtaposant 3 segments initiaux en triangle.
  1,2619 Carré de Cantor   Ensemble de Cantor en deux dimensions.
calculé 1,2683 Ensemble de Julia pour z²-1   Ensemble de Julia pour c=-1[7].
Mesuré (box-counting) 1,3 Fractale Beryl pour k=1   Pour k=1. La fractale Béryl est définie par   avec x et y complexes, c un point du plan complexe, et la coupe dans le plan  [11]
calculé 1,3057 Baderne d'Apollonius   Voir[7]
calculé (box-counting) 1,328 Fractale d'inversion à 5 cercles   L'ensemble limite généré itérativement via des inversions par rapport à 5 cercles tangents. Également une baderne d'Apollonius à 4 cercles de base. Voir[12]
calculé 1.3934 Lapin de Douady   Ensemble de Julia pour c=-0,123+0.745i[7].
Mesuré (box counting) 1,42 +/- 0,02 Fractale de Newton   Frontière triple des bassins d'attraction des 3 racines complexes de l'équation   par la méthode de Newton.
  1,4649 Fractale de Vicsek   Construit en substituant itérativement chaque carré par une croix de 5 carrés.
  1,4649 Courbe de Koch quadratique (type 1)   On y retrouve le motif de la fractale box (voir ci-dessus), construit différemment.
  1,5000 Courbe de Koch quadratique (type 2)   Appelée également « saucisse de Minkowski ».
  (supposé exact) 1.5000 une fonction de Weierstrass :     La dimension de Hausdorff de la fonction de Weierstrass   définie par   avec   et   est majorée par   Il est conjecturé qu'il s'agit de la valeur exacte. Le même résultat peut être établi en utilisant, à la place de la fonction sinus, d'autres fonctions périodiques comme cosinus[1].
  1,5236 Frontière courbe du dragon   Cf. Chang & Zhang[13].
  1.5236 Frontière du twindragon   Un des six 2-autopavés réguliers (peut être pavé par deux copies de lui-même, de même taille)[10].
  1,5849 Arbre à trois branches    Chaque branche porte trois branches (ici 90° et 60°). La dimension fractale de l'arbre est celle des branches terminales.
  1,5849 Triangle de Sierpiński   C'est également le triangle de Pascal modulo 2.
  1,5849 Courbe de Sierpiński en pointe de flèche   Même limite que le triangle de Sierpiński (ci-dessus), mais obtenue par itérations d'une courbe unidimensionnelle.
  1,5849 Frontière de la fractale de l'équerre (en) (T-square)  
  1,61803 =   un dragon d'or   Construit avec deux homothéties de rapport   et  , avec  . La dimension vaut   car  . Avec   (nombre d'or).
  1,6309 Triangle de Pascal modulo 3   D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est  (cf. Stephen Wolfram[14])
  1,6309 Hexagone de Sierpinski   Construit à la manière du tapis de Sierpinski, sur un réseau hexagonal, avec 6 similitudes de rapport 1/3. On y remarque l'omniprésence du flocon de Koch.
  1,6379 Fractale du mot de Fibonacci   Fractale basée sur le mot de Fibonacci (ou séquence du Lapin) Sloane A005614. Illustration : Fractale après F23 = 28657 segments[9]. Avec   (Nombre d'or).
Solution de   1.6402 Attracteur d'un IFS avec 3 similitudes de ratios 1/3, 1/2 and 2/3   Generalisation : Supposant la condition d'ensemble ouvert satisfaite, l'attracteur d'un système de fonctions itérées à   simulitudes de ratio  , a pour dimension de Hausdorff  , solution de l'équation :  [1].
  1,6826 Triangle de Pascal modulo 5   D'une manière générale pour un triangle modulo k, si k est premier, la dimension fractale est   (cf. Stephen Wolfram[14])
Mesuré (box-counting) 1.7 Attracteur d'Ikeda   Pour les valeurs de paramètres a=1, b=0.9, k=0.4 et p=6 dans le système itéré d'Ikeda  . Dérive d'un modélisation d'interactions d'ondes planaires dans un laser. Différents paramètres entrainent differentes valeurs[15].
  1,7227 Fractale pinwheel   Construite à partir du pavage en moulin à vent de John Conway.
  1,7712 Hexagone de Sierpinski   Construit en substituant itérativement chaque hexagone par un flocon de 7 hexagones. Sa frontière est le flocon de Koch. Contient une infinité de flocons de Koch (en positif comme en négatif).
log(7) / log(3) 1.7712 Fractal H-I de Rivera En partant d'un carré divisant ses dimensions en trois parties égales pour former neuf carrés auto-similaires avec le premier carré, deux carrés du milieu (celui du dessus et celui du dessous du carré central) sont supprimés dans chacun des sept carrés non éliminés le processus est répété, donc il continue indéfiniment.
  1,7848 Courbe de Koch à 85°, fractale de Cesàro   Généralisation de la courbe de Koch basée sur un angle a choisi entre 0 et 90°. La dimension fractale vaut alors  . La fractale de Cesàro est basée sur ce motif.
  1.8272 Une fractale auto-affine   Construite itérativement à partir d'une grille   sur un carré, avec  . Sa dimension de Hausdorff égale  [1] avec   et   le nombre d'éléments dans la colonne k. La dimension de Minkowski–Bouligand (box counting) donne une formule différente, donc une valeur souvent différente. Contrairement aux fractales auto-similaires, la dimension de Hausdorff des fractales auto-affines dépend de la position des éléments itérés et il n'existe pas de formule simple pour le cas général.
  1,8617 Flocon pentagonal (en) (pentaflake)   Construit en substituant itérativement chaque pentagone par un flocon de 6 pentagones. Ici,   est le nombre d'or et vaut  
solution de   1.8687 L'"arbre des singes"   Cette courbe apparaît sous ce nom dans (Mandelbrot 1982). Elle est basée sur 6 homothéties de rapport 1/3 et 5 homothéties de rapport  [16].
  1,8928 Tapis de Sierpiński  
  1,8928 Cube de Cantor   Ensemble de Cantor en trois dimensions.
  1,8928 Produit cartésien de la courbe de von Koch et de l'ensemble de Cantor   Généralisation : Soit F×G, le produit cartésien de deux ensembles fractals F et G. Alors dimH(F×G) = dimH(F) + dimH(G)[1].
Estimé 1,9340 Frontière de la fractale de Lévy   Estimé par Duvall et Keesling (1999). La fractale de Lévy en elle-même a pour dimension de Hausdorff 2.
1,974 Pavage de Penrose   Cf. Ramachandrarao, Sinha & Sanyal[17]

δ = 2Modifier

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
  2 Frontière de l'ensemble de Mandelbrot   La frontière a la même dimension que l'ensemble[18].
  2 certains ensembles de Julia   Pour des valeurs de c déterminées (sur la frontière de l'ensemble de Mandelbrot), l'ensemble de Julia a pour dimension 2[18].
  2 Courbe de Sierpiński (en)   Toute courbe remplissant l'espace possède une dimension de Hausdorff δ = 2.
  2 Courbe de Hilbert   Peut être étendue à trois dimensions.
  2 Courbe de Peano   et une famille de courbes de construction similaire, dont les courbes de Wunderlich.
  2 Courbe de Moore (en)   Peut être étendue à 3 dimensions.
  2 Courbe de Lebesgue   Contrairement aux courbes ci-dessus, celle-ci est presque partout différentiable. Un deuxième type de courbe 2D a également été défini. Cette courbe peut être étendue en 3D avec une dimension fractale de 3[19]..
  2 Courbe du dragon   Sa frontière a une dimension fractale de 1,5236 (Cf.Chang & Zhang[13])
2 Courbe "Terdragon"   L-System : F→ F+F-F ; angle=120°.
  2 Courbe de Peano-Gosper   Sa frontière est l'île de Gosper.
Solution de   2 Courbe remplissant le flocon de Koch   Proposée par Mandelbrot en 1982[20], elle remplit le flocon de Koch. Elle est basée sur 7 similitudes de rapport 1/3 et 6 similitudes de rapport  .
  2 Tétraèdre de Sierpinski   Conséquence de sa dimension 2, sa surface reste inchangée d'itération en itération, et ce, jusqu'à l'infini[21].
  2 Fractale H (en)   Également, l'arbre de Mandelbrot, qui a une structure similaire.
  2 Arbre de Pythagore   Chaque carré génère deux carrés de côté réduit de 1/racine(2).
  2 Fractale en croix grecque   Chaque segment est substitué par une croix formée de quatre segments.

2 < δ < 3Modifier

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
Mesuré 2.01 +-0.01 Attracteur de Rössler   La dimension fractale de l'attracteur de Rössler est légèrement supérieure à 2. Pour a=0,1, b=0,1, et c=14 elle est estimée entre 2,01 et 2,02[22],[23].
Mesuré 2.06 +-0.01 Attracteur étrange de Lorenz   Pour les paramètres de l'attracteur: v=40, =16 et b=4[24].
  2,3219 Pyramide fractale   Chaque pyramide est substituée par 5 pyramides. Ne pas confondre avec le tétraèdre de Sierpinski, il s'agit de pyramides à base carrée.
  2,3296 Dodécaèdre fractal   Chaque dodécaèdre est substitué par 20 dodécaèdres[21].
  2,33 Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 1   Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 1 (la figure illustre la deuxième itération).
2,47 Interstices des sphères d'Apollonius   Baderne d'Apollonius en trois dimensions. Modélise la mie de pain ou l'éponge. Dimension calculée par M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert[25].
  2,50 Surface quadratique de Koch en trois dimensions de type 2   Extension en trois dimensions de la courbe quadratique de Koch en deux dimensions de type 2 (la figure illustre la deuxième itération).
  2,5237 Hypercube de Cantor pas de représentation possible Ensemble de Cantor en 4 dimensions. D'une manière générale, dans un espace de dimension n, l'ensemble de Cantor a une dimension fractale égale à  
  2,529 Cube de Jérusalem   Son rapport d'homothétie est irrationnel, il vaut  . Une itération sur un cube n construit huit cubes de rang suivant n + 1 et douze cubes de rang n + 2. A comparer avec l'Éponge de Menger, dont le volume tend aussi vers zéro.
  2,5819 Icosaèdre fractal   Chaque icosaèdre est remplacé par 12 icosaèdres[21].
  2,5849 Octaèdre fractal   Chaque octaèdre est remplacé par 6 octaèdres[21].
  2.5849 Surface de Koch   Chaque triangle équilatéral est remplacé par 6 triangles deux fois plus petits. Extension en 2 dimensions de la courbe de Koch.
  2,59 Fractale en croix grecque en trois dimensions   Chaque segment est substitué par une croix en trois dimensions formée de 6 segments. Extension en trois dimensions de la croix en deux dimensions.
  2.7095 Von Koch en 3D (fractale Delta)   Part d'un polyèdre de 6 faces isocèles ayant des côtés de ratio 2:2:3 . remplacer chaque polyèdre pas trois copies de lui-même, 2/3 plus petites[26].
  2,7268 Éponge de Menger   Sa surface a une dimension fractale de  .
  2,8073 Heptaèdre fractal   Construit avec 7 homothéties de rapport 1/2. Ses faces sont constituées de triangles de Sierpinski. Son volume tend vers zéro.

δ = 3Modifier

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
  3 Courbe de Hilbert en trois dimensions   Courbe de Hilbert étendue à trois dimensions
  3 Courbe de Lebesgue en trois dimensions   Courbe de Lebesgue étendue à trois dimensions[19]
  3 Courbe de Moore (en) en trois dimensions   Courbe de Moore étendue à trois dimensions.
3 3 Mandelbulb   Extension de l'ensemble de Mandelbrot (puissance 8) à 3 dimensions[27].

Fractales aléatoires et naturellesModifier

δ
(val. exacte)
δ
(val. approchée)
Nom Illustration Remarques
1/2 0.5 Zéros du graphe d'une fonction brownienne (Processus de Wiener)   Les zéros du graphe d'une fonction brownienne constituent un ensemble nulle part dense, de mesure de Lebesgue 0, avec une structure fractale[1],[28].
Solution de   avec   et   0.7499 Ensemble de Cantor aléatoire 50 % / 30 %   À chaque itération, la longueur de l'intervalle de gauche est définie par une variable aléatoire  : un pourcentage variable de la longueur du segment d'origine. Idem pour l'intervalle de droite, avec pour autre variable aléatoire  . Sa dimension de Hausdorff   satisfait alors l'équation :  . (  est l'espérance mathématique de  )[1].
Mesuré 1,05 Chromosome humain no 22   Voir référence pour les détails de la méthode de calcul[29].
Solution de   1.144… Courbe de Koch avec intervalle aléatoire   La longueur de l'intervalle médian est une variable aléatoire à distribution uniforme dans (0;1/3)[1].
Mesuré 1,24 Côte de Grande-Bretagne   Dimension fractale de la côte ouest de Grande-Bretagne, mesurée par Lewis Fry Richardson et citée par Benoît Mandelbrot[30].
  1.2619 Courbe de Koch avec orientation aléatoire   On introduit ici un élément de hasard qui n'affecte pas la dimension en choisissant aléatoirement, à chaque itération, de placer le triangle équilatéral au-dessus ou en dessous de la courbe[1].
  1,33 Frontière du mouvement brownien[31]  
  1,33 Polymère en deux dimensions Similaire au mouvement brownien sans auto-intersection[32].
  1,33 Front de percolation, front de corrosion en deux dimensions   Dimension fractale du front de percolation par invasion au seuil de percolation (59,3 %). C'est également la dimension fractale du front de corrosion[32].
1,40 Agrégat d'agrégats en deux dimensions Des agrégats se combinent progressivement en un agrégat unique de dimension 1,4[32].
  1.5 Graphe d'une fonction Brownienne (Processus de Wiener)   Graphe d'une fonction   telle que, pour tout couple de réels positifs   et  , la différence de leurs images   suit une distribution gaussienne centrée de variance =  . Généralisation : Une fonction fractionnelle Brownienne d'index   suit la même définition mais avec une variance =  , dans ce cas, la dimension de Hausdorff de son graphe =  [1].
Mesuré 1,52 Côte de Norvège   Cf. Feder[33].
Mesuré 1,55 Marche aléatoire sans intersection   Marche aléatoire dans un réseau carré sans auto-intersection, avec algorithme de retour arrière pour évitement des impasses.
  1,66 Polymère en trois dimensions Similaire au mouvement brownien dans un réseau cubique, mais sans auto-intersection[32].
1,70 Agrégat par diffusion en deux dimensions   En deux dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 1,70[32].
  1.7381 Percolation fractale à 75 % de probabilité   Le modèle de percolation fractale est construit par le remplacement progressif de chaque carré par une grille de 3x3 dans laquelle est placée une collection aléatoire de sous-carrés, chaque sous-carré ayant une probabilité p d'être retenu. La dimension de Hausdorff "presque certaine" égale  [1].
7/4 1,75 Frontière d'un amas de percolation en deux dimensions   La frontière d'un amas de percolation peut également être simulée par une marche générant spécifiquement cette frontière ou en utilisant l'évolution de Schramm-Loewner (en)[34].
  1,8958 Amas de percolation en deux dimensions   Sous le seuil de percolation (59,3 %), l'amas de percolation par invasion couvre une surface de dimension fractale 91/48[32],[35]. Au-delà du seuil, l'amas est infini et 91/48 devient la dimension fractale des « clairières ».
  2 Mouvement brownien   Modélisé par la marche aléatoire. La dimension de Hausdorff reste égale 2 dans toutes les dimensions supérieures ou égales à 2.
Mesuré Environ 2 Distribution des amas de galaxies   Mesuré à partir des résultats 2005 du Sloan Digital Sky Survey. Voir référence[36]
  2,33 Surface du chou-fleur   Chaque branche porte environ 13 branches 3 fois plus courtes.
2,4 ± 0,2 Boule de papier froissé   Le diamètre de la boule de papier froissé, élevé à une puissance non entière comprise entre 2 et 3 est approximativement proportionnel à la surface de papier utilisé[37]. Les plis se forment à toutes les échelles.
2,50 Agrégat par diffusion en trois dimensions   En trois dimensions, des particules forment progressivement par diffusion un agrégat de dimension 2,5[32].
2.50 Figure de Lichtenberg   Les décharges electriques arborescentes, dites figures de Lichtenberg, croissent à la manière d'une diffusion par agrégation[32].
  2.5 Surface Brownienne   Une fonction  , donne l'altitude d'un point   telle que, pour deux incréments positifs   et  ,   suive une distribution Gaussienne centrée de variance =  . Généralisation : Une surface Brownienne fractionnelle d'index   suit la même définition mais avec une variance =  , dans ce cas, sa dimension de Hausdorff =  [1].
Mesuré 2.52 Amas de percolation en 3 dimensions   Au seuil de percolation, l'amas 3D de percolation par invasion a une dimension fractale de 2,52 environ[35].
Mesuré 2.66 Brocoli[38]  
2.79 Surface du cerveau humain[39]  
2,88 - 2,97 Surface pulmonaire   Le réseau d'alvéoles pulmonaires forme une surface fractale proche de 3[32],[40]
Calculé 3 Corde quantique   Trajectoire d'une corde quantique dont le point représentatif dérive au hasard[41].

Notes et référencesModifier

  1. a b c d e f g h i j k l m et n Falconer 2003, p. xxv.
  2. (en) C. Wayne Patty, Foundations of Topology, Jones & Bartlett Learning, (lire en ligne), p. 225.
  3. (en) On the metric properties of the Feigenbaum attractor DOI:10.1007/BF01007519.
  4. (en) The scattering from generalized Cantor fractals, arXiv:0911.2497.
  5. (en) K. Y. Tsang, « Dimensionality of Strange Attractors Determined Analytically », Phys. Rev. Lett., vol. 57,‎ , p. 1390-1393 (lire en ligne).
  6. Hunt[Quoi ?], cité dans (en) B. B. Mandelbrot, Gaussian Self-Affinity and Fractals, Springer, (ISBN 978-0-387-98993-8, lire en ligne), p. ?[réf. non conforme].
  7. a b c et d (en) « Hausdorff dimension and conformal dynamics III: Computation of dimension ».
  8. A. Messaoudi, « Frontière du fractal de Rauzy et système de numération complexe », Acta Arithmetica, vol. 95, no 3, 2000, p. 195-223 [lire en ligne].
  9. a b et c (en) The Fibonacci Word fractal.
  10. a et b On 2-reptiles in the plane, Ngai, 1999
  11. Béryl : Une fractale originale.
  12. (en) « Circle Inversion Fractals — Dimensions of Limit Sets ».
  13. a et b (en) « On the Fractal Structure of the Boundary of Dragon Curve ».
  14. a et b (en) Stephen Wolfram, « Geometry of binomial coefficients », .
  15. (en) « Estimating fractal dimension », .
  16. (en) « "Monkeys' Tree" Fractal Curve ».
  17. (en) P. Ramachandrarao, A. Sinha et D. Sanyal, « On the fractal nature of Penrose tiling » [PDF].
  18. a et b The Hausdorff dimension of the boundary of the Mandelbrot set and Julia sets, arXiv:math/9201282.
  19. a et b « Courbe de Lebesgue », sur mathcurve (variantes 2D et 3D).
  20. Penser les mathématiques, Éditions du Seuil, 1982 (ISBN 2020060612).
  21. a b c et d (en) Paul Bourke, « Platonic solid fractals and their complements ».
  22. J. Vedikunnel, « Les attracteurs étranges ».
  23. (en) The Rossler Attractor.
  24. (en) Mark J. Mcguinness, « The fractal dimension of the Lorenz attractor », Physics Letters, vol. 99A, 1983, p. 5-9 DOI:10.1016/0375-9601(83)90052-X abstract.
  25. (en) M. Borkovec, W. De Paris et R. Peikert, « The fractal dimension of the Apollonian sphere packing » [archive du ] [PDF], .
  26. [1]
  27. (en) « Hausdorff dimension of the Mandelbulb », sur fractalforums.com.
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  29. (en) « Fractal dimension of human chromosome 22 » (IAFA 2003).
  30. (en) B. Mandelbrot, « How Long Is the Coast of Britain? (en) Statistical self-similarity and fractional dimension », Science, vol. 156, no 3775,‎ , p. 636-638 (DOI 10.1126/science.156.3775.636, lire en ligne).
  31. (en) Gregory F. Lawler, Oded Schramm et Wendelin Werner, « The Dimension of the Planar Brownian Frontier is 4/3 », (arXiv math/0010165v2).
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  37. (it) A. Filipponi, Introduzione alla fisica, (ISBN 9788808070739).
  38. (en) Glenn Elert, « Fractal Dimension of Broccoli », sur The Physics Factbook.
  39. (de) Frank Grünberg, « Der Vater des Apfelmännchens », Technology Review, .
  40. (en) K. Lamrini Uahabi and M. Atounti, « New approach to the calculation of fractal dimension of the lungs - 2015 »
  41. (en) S. Ansoldi, « The Hausdorf dimension of a quantum string », sur Université de Trieste .

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Articles connexesModifier

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Liens externesModifier