Lemme du soleil levant

Le lemme du soleil levant[1] est un lemme d'analyse réelle dû à Frigyes Riesz[2], utilisé dans une preuve du théorème maximal de Hardy-Littlewood. Ce lemme a été un précurseur en dimension 1 du lemme de Calderón-Zygmund[3]. Son nom imagé vient du fait qu'il concerne les points du graphe d'une fonction, vu comme un paysage, qui sont dans l'ombre lorsque ce paysage est éclairé horizontalement par la droite.

ÉnoncéModifier

Soit g : [a, b] → ℝ une application continue. Un point x de ]a, b[ est dit invisible depuis la droite[1] s'il existe y dans ]x, b] tel que g(y) > g(x). Soient U l'ouvert des points invisibles depuis la droite et (]an, bn[) la famille (au plus dénombrable) de ses composantes connexes. Alors[4],[5],[6], pour tout n,

  • si an ≠ a, g(an) = g(bn) ;
  • si an = a, g(an) ≤ g(bn).

DémonstrationModifier

Montrons d'abord que pour tout x ∈ ]an, bn[, g(bn) ≥ g(x). Considérons pour cela un point t en lequel g atteint son maximum sur [x, b]. Puisque [x, bn[ ⊂ U, t appartient à [bn, b] donc, comme bn U, g(t) ≤ g(bn). A fortiori, g(x) ≤ g(bn).

Par continuité, on en déduit que g(an) ≤ g(bn).

Si ana, on a même g(an) = g(bn). En effet, comme an U, g g(an) sur [an, b], en particulier g(bn) ≤ g(an).

Application aux fonctions monotonesModifier

L'une des approches possibles, pour démontrer la dérivabilité presque partout des fonctions monotones, est de montrer d'abord que pour toute fonction continue croissante f : [a, b] → ℝ, les ensembles

 

sont de mesure nulle, D et D+ désignant les dérivées de Dini inférieure à gauche et supérieure à droite, qui sont presque partout finies. Il en résulte alors que, presque partout, D+f ≤ Df et (en remplaçant f par x ↦ –f(–x)) Df ≤ D+f, d'où la dérivabilité presque partout de f.

Cette négligeabilité des Er,R peut se démontrer à l'aide du lemme du soleil levant[7].

Notes et référencesModifier

  1. a et b Les termes « rising sun lemma » et « invisible from the right » sont utilisés dans (en) Vilmos Komornik, Lectures on Functional Analysis and the Lebesgue Integral, Springer, , p. 162 (lire en ligne sur Google Livres).
  2. Frédéric Riesz, « Sur un théorème de maximum de MM. Hardy et Littlewood », J. London Math. Soc., vol. 7, no 1,‎ , p. 10-13 (DOI 10.1112/jlms/s1-7.1.10)
  3. (en) Elias M. Stein, « Singular integrals: The Roles of Calderón and Zygmund », Notices Amer. Math. Soc., vol. 45, no 9,‎ , p. 1130-1140 (lire en ligne)
  4. (en) Antoni Zygmund, Trigonometric series, CUP, , 2e éd., 747 p. (ISBN 978-0-521-07477-3), p. 31
  5. (en) Terence Tao, An Introduction to Measure Theory, Providence, AMS, , 206 p. (ISBN 978-0-8218-6919-2, lire en ligne), p. 118-119
  6. (en) Peter L. Duren, Theory of Hp Spaces, Dover, , 292 p. (ISBN 978-0-486-41184-2, lire en ligne), p. 232-233 formule la version analogue pour les points invisibles depuis la gauche.
  7. Tao 2011, p. 131-132
  • (en) D. J. H. Garling, Inequalities : A Journey into Linear Analysis, CUP, , 335 p. (ISBN 978-0-521-69973-0)
  • (en) A. A. Korenovskyy, A. K. Lerner et A. M. Stokolos, « On a multidimensional form of F. Riesz's “rising sun” lemma », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 133, no 5,‎ , p. 1437-1440 (lire en ligne)