Lemme de Schreier

En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.

ÉnoncéModifier

Soient :

  •   un groupe ;
  •   une partie génératrice de   ;
  •   un sous-groupe de   ;
  •   une transversale à droite de   dans  , contenant l'élément neutre.

Pour tout élément g de  , on note g l'élément de   qui a même classe à droite :

 

Alors,   est engendré par le sous-ensemble

 

ExempleModifier

Si   est d'indice 2 dans  , alors   contient au moins un  , et on peut prendre comme transversale  . On peut de plus se ramener au cas où   est le seul élément de   qui n'appartient pas à   (en remplaçant les autres par leur produit par  ). On calcule alors

 

  est donc engendré par   joint aux éléments de   et à leurs conjugués par  .

DémonstrationModifier

Soit   un élément du sous-groupe  . Il s'écrit

 

Posons, pour   :

 

En particulier,  , donc

 .

Or  , donc chacune des   parenthèses de ce produit est de la forme

 

On conclut en remarquant que si   et  , en posant  , on obtient

 

ApplicationsModifier

SourceModifier

(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)