Lemme de Grönwall

Théorème sur les inéquations différentielles

En mathématiques, le lemme de Grönwall, aussi appelé inégalité de Grönwall, nommé d'après Thomas Hakon Grönwall qui l'établit en 1919, permet l'estimation d'une fonction qui vérifie une certaine inégalité différentielle. Le lemme existe sous deux formes, intégrale et différentielle.

Le lemme de Grönwall constitue la justification et l'outil d'obtention de nombreuses approximations des solutions d'équations différentielles ordinaires. En particulier, il est utilisé pour démontrer l'unicité d'une solution au problème de Cauchy, au travers du théorème de Cauchy-Lipschitz.

Forme intégraleModifier

Si   et   sont des fonctions continues qui vérifient :

 

  est une constante, alors :

 .

En particulier, si   et   alors  .

Forme différentielleModifier

Si l'équation différentielle suivante est vérifiée :

 ,

alors on a l'inégalité :

 

pour  .

En particulier, si  , alors  .

Il est important de noter que la forme différentielle du lemme de Grönwall reste vraie sans l'hypothèse de positivité sur la fonction  .

Forme discrèteModifier

La version discrète du lemme de Grönwall se présente dans la littérature en une multitude de déclinaisons. Elle est couramment utilisée pour étudier la stabilité numérique des schémas d'intégration.

Considérons les trois suites de nombres réels positifs suivantes :

  le pas de temps à chaque itération,
  l'erreur totale (accumulée) à l'itération  ,
  l'erreur supplémentaire apportée par l'itération  .

Considérons de plus le nombre réel positif   qui représente un facteur d'amplification de l'erreur.

Finalement, ajoutons, pour simplifier l'écriture :

  le temps à l'itération  ,

de sorte que  .

Si de plus les erreurs successives sont liées par

 ,

alors :

 .

La démonstration se fait par récurrence en remarquant que   pour tout  .

Voir aussiModifier

Sur les autres projets Wikimedia :

(en) J. A. Oguntuase, « On an inequality of Gronwall », Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol. 2, no 1,‎ (lire en ligne[archive du ])