Lemme de Gauss (géométrie riemannienne)

En géométrie riemannienne, le lemme de Gauss permet de comprendre l'application exponentielle comme une isométrie radiale. Dans ce qui suit, soit M une variété riemannienne dotée d'une connexion de Levi-Civita (i.e. en particulier, cette connexion est symétrique et compatible avec la métrique de M).

IntroductionModifier

Nous avons défini sur   l'application exponentielle en   par

 

où on a dû restreindre le domaine   de définition à une boule   de rayon   et de centre   pour s'assurer que   est bien définie et où   est le point   atteint en suivant l'unique géodésique   passant par le point   avec la vitesse   sur une distance  . Nous remarquons très aisément que   est un difféomorphisme local autour de  . En effet, soit   une courbe différentiable dans   telle que   et  . Comme  , il est clair qu'on peut choisir  . Dans ce cas, par la définition de la différentielle de l'exponentielle en   appliquée sur  , nous obtenons

 

Le fait que   soit un difféomorphisme local et que   pour tout   nous permet d'affirmer que   est une isométrie locale autour de 0, i.e.

 

Ceci signifie en particulier qu'il est possible d'identifier la boule   avec un petit voisinage autour de  . Nous sommes déjà contents de voir que   est une isométrie locale, mais on aimerait bien que ce soit un peu plus que ça. Il s'avère qu'il est en fait possible de montrer que cette application est même une isométrie radiale.

Lemme de Gauss : l'exponentielle comme isométrie radialeModifier

Soit  . Dans ce qui suit, nous faisons l'identification  . Le lemme de Gauss dit :

Soient   et  . Alors,

 

Pour  , ce lemme signifie que   est une isométrie radiale dans le sens suivant : soit  , i.e. tel que   est bien définie. De plus, soit  . Alors, l'exponentielle   reste une isométrie en  , et, plus généralement, tout au long de la géodésique   (pour autant que   soit bien définie). Donc, radialement, dans toutes les directions permises par le domaine de définition de  , celle-ci reste une isométrie.

RéférenceModifier

(en) Manfredo Perdigão do Carmo, Riemannian geometry, Boston, Birkhäuser Verlag, , 300 p. (ISBN 978-0-8176-3490-2)

Articles connexesModifier