Lemme de Fatou

Théorème de théorie de l'intégration de Lebesgue

Le lemme de Fatou est un important résultat dans la théorie de l'intégration de Lebesgue. Il a été démontré par le mathématicien français Pierre Fatou (1878-1929). Ce lemme compare l'intégrale d'une limite inférieure de fonctions mesurables positives avec la limite inférieure de leurs intégrales.

Il est en général présenté dans une suite de trois résultats : d'abord le théorème de convergence monotone, qui sert ensuite à démontrer le lemme de Fatou, puis celui-ci est utilisé pour démontrer le théorème de convergence dominée.

Ce lemme porte parfois le nom de « théorème de Fatou-Lebesgue ».

ÉnoncéModifier

Soit   un espace mesuré. Pour toute suite   de fonctions mesurables sur   à valeurs dans [0, +∞], la limite inférieure de la suite est mesurable et l'on a :

 .

L'égalité n'est en général pas vérifiée.

ExemplesModifier

Cas d'inégalité stricteModifier

L'exemple suivant montre que l'égalité n'est pas vérifiée en général. Considérons la suite   sur   muni de la mesure de Lebesgue, telle que   et  . Alors   pour tout  , donc  , tandis que   pour tout  .

IndicatricesModifier

En appliquant le lemme de Fatou au cas où chaque fn est l'indicatrice d'une partie mesurable An de E, on obtient :

 ,

où la limite inférieure de gauche est la limite inférieure de la suite d'ensembles.

Remarquons toutefois que l'on peut obtenir ce résultat directement, sans avoir recours au lemme de Fatou. En effet, par croissance de la suite  , on a

 .

Notes et référencesModifier

  1. (en) N. L. Carothers, Real Analysis, Cambridge University Press, (lire en ligne), p. 321.
  2. Srishti D. Chatterji, Cours d'analyse, vol. 1 : Analyse vectorielle, PPUR, (lire en ligne), p. 241-242.
  3. Jean-Pierre Ramis, André Warusfel et al., Mathématiques Tout-en-un pour la Licence 3, Dunod, (lire en ligne), p. 250 (dans le cadre de l'intégrale de Kurzweil-Henstock).
  4. Ou encore : pour tout  , par définition de   et croissance de l'intégrale,   puis, par monotonie de l'opérateur  ,  .