K-topologie

En mathématiques, la K-topologie[1], ou topologie de Smirnov de la suite supprimée[2], est une topologie particulière sur l'ensemble ℝ des réels, plus fine que la topologie usuelle et pour laquelle l'ensemble K des inverses des entiers naturels non nuls est fermé (alors que pour la topologie usuelle, 0, qui n'appartient pas à K, est un point d'accumulation[3] de K). D'autres propriétés remarquables de cet espace en font un contre-exemple utile en topologie générale[2].

DéfinitionModifier

Soit K = {1/n | n ∈ ℕ*}. La famille de tous les intervalles réels ouverts ]a, b[ et de tous les ensembles de la forme ]a, b[\K forme une base de topologie. La topologie engendrée par cette famille est appelée la K-topologie sur ℝ et cet espace topologique est noté ici[1]K.

PropriétésModifier

Notes et référencesModifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « K-topology » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) James Munkres, Topology, Prentice Hall, , 2e éd. (1re éd. 1975), 537 p. (ISBN 978-0-13-181629-9, lire en ligne), p. 82 : « The topology generated by ℬ" will be called the K-topology on ℝ. When is given this topology, we denote it by K. »
  2. a et b (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, (1re éd. Springer, 1978), 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), Counterexample 64 : « Smirnov’s Deleted Sequence topology »
  3. C'est en fait le seul.