Intervalle (mathématiques)

En mathématiques, un intervalle (du latin intervallum) est étymologiquement un ensemble ordonné de points compris entre deux bornes. Cette notion première s'est ensuite développée jusqu'à aboutir à la notion topologique de boule d'un espace métrique.

Intervalles de ℝ

Inventaire

Initialement, on appelle intervalle réel un ensemble de nombres délimité par deux nombres réels constituant une borne inférieure et une borne supérieure. Un intervalle contient tous les nombres réels compris entre ces deux bornes.

Cette définition regroupe les intervalles des types suivants (avec a et b réels et a < b) :

• $\{x\in \mathbb {R} \mid a<x<b\}=\;]a;b[$ (ouvert et non fermé)
• $\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x\leq b\}=[a;b]$ (fermé et non ouvert)
• $\{x\in \mathbb {R} \mid a<x\leq b\}=\;]a;b]$ (semi-ouvert à gauche, semi-fermé à droite)
• $\{x\in \mathbb {R} \mid a\leq x<b\}=[a;b[$ (semi-fermé à gauche, semi-ouvert à droite)

Les intervalles du premier type sont appelés intervalles ouverts ; les seconds intervalles fermés, et les deux derniers intervalles semi-ouverts.

Une autre notation (d'origine anglaise mais très répandue également^{[réf. nécessaire]}) utilise, pour les intervalles (semi-)ouverts, une parenthèse au lieu d'un crochet, et une virgule séparatrice au lieu d'un point-virgule : les intervalles ci-dessus sont alors notés respectivement

$(a,b),\qquad [a,b]\qquad (a,b],\qquad [a,b).$

Ces deux notations sont décrites dans la norme ISO 31 (pour les mathématiques : ISO 31-11). À ces intervalles se sont ajoutés les ensembles des réels inférieurs à une valeur, ou supérieurs à une valeur. On ajoute donc les intervalles de ce type :

• $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x<a\right\}=\;]{-\infty };a[\;=(-\infty ,a)$ (ouvert et non fermé)
• $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\leq a\right\}=\;]{-\infty };a]=(-\infty ,a]$ (fermé et non ouvert)
• $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x>a\right\}=\;]a;+\infty [\;=(a,+\infty )$ (ouvert et non fermé)
• $\left\{x\in \mathbb {R} \mid x\geq a\right\}=[a;+\infty [\;=[a,+\infty )$ (fermé et non ouvert)

Auxquels se sont ajoutés les intervalles :

• l'ensemble vide ∅ (à la fois ouvert et fermé) ;
• les singletons {a} = [a, a] (fermé et non ouvert) ;
• l'ensemble des nombres réels $\mathbb {R} =\;]{-\infty };+\infty [\;=(-\infty ,+\infty )$ (à la fois ouvert et fermé).

Définition générale

Un intervalle de ℝ est une partie convexe de ℝ, c'est-à-dire un ensemble I de réels vérifiant la propriété suivante :

$\forall (x,y)\in I^{2},\ (x\leq y\Rightarrow [x;y]\subset I)$

autrement dit :

$\forall (x,y)\in I^{2},\ \forall z\in \mathbb {R} ,\ (x\leq z\leq y\Rightarrow z\in I)\ .$

Union et intersection

Une intersection d'intervalles de ℝ est toujours un intervalle. Par exemple,

• $[-3;5[\;\cap \;]{-\infty };2]=[-3;2]$
• $[-3;5[\;\cap \;[2;+\infty [\;=[2;5[$
• $[3;5[\;\cap \;]{-\infty };2]=\varnothing$

Une union d'intervalles de ℝ n'est pas toujours un intervalle. Ce sera un intervalle si l'ensemble obtenu reste convexe (intuitivement s'il n'y a pas de « trou »). Dans le cas d'une union de deux intervalles, il suffit que l'intersection de ces intervalles soit non vide pour que leur réunion soit convexe. Par exemple,

• $]{-\infty };2]\;\cup [-3;5[\;=\;]{-\infty };5[$
• $[-3;5[\;\cup \;[2;+\infty [\;=[-3;+\infty [$
• $[3;5[\;\cup \;]{-\infty };2]=\;]{-\infty };2]\cup [3;5[$ (N.B. on note de préférence les deux bornes d’un intervalle dans l’ordre croissant).

Cette union ne forme pas un intervalle étant donné qu'il y a un trou entre 2 et 3.

Connexité et compacité

Les parties connexes de ℝ (pour la topologie usuelle) sont exactement les intervalles.

Les intervalles fermés bornés, c'est-à-dire contenant leurs bornes, sont appelés segments. Ce sont les seuls intervalles réels compacts. Ce résultat est un cas particulier du théorème de Borel-Lebesgue.

Décomposition des ouverts de ℝ

Tout ouvert de ℝ est réunion dénombrable d'intervalles ouverts deux à deux disjoints : ses composantes connexes.

En analyse et en topologie

Les intervalles sont les parties de ℝ les plus intéressantes dès que l'on parle de continuité et de dérivabilité.

Un intervalle réel est dit non trivial s'il est non vide et non réduit à un point.

On trouve alors (entre autres) pour les fonctions réelles d'une variable réelle, des propriétés telles que :

• L'image par une fonction continue d'un intervalle de ℝ est un intervalle de ℝ (théorème des valeurs intermédiaires).
• Une fonction dérivable et à dérivée identiquement nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle.
• Une fonction dérivable est croissante (au sens large) sur un intervalle non trivial si et seulement si sa dérivée reste positive (au sens large) sur cet intervalle.

Remarque : La fonction f : ℝ* → ℝ définie par f(x) = x/|x| est dérivable sur ℝ*, et sa dérivée est identiquement nulle ; mais f n'est pas constante. Ceci tient au fait que ℝ* = ℝ\{0} n'est pas un intervalle.

Généralisation

Dans tout ensemble totalement ordonné (S, ≤), on peut définir les intervalles, de la même façon que dans ℝ, comme les ensembles convexes (au sens de la définition générale énoncée plus haut). On retrouve parmi eux les types suivants (mais ce ne sont plus les seuls) :

• $\left\{z\in S\mid a<z<b\right\}$, $\left\{z\in S\mid a\leq z\leq b\right\}$, $\left\{z\in S\mid a<z\leq b\right\}$, $\left\{z\in S\mid a\leq z<b\right\}$
• $\left\{z\in S\mid z<a\right\}$, $\left\{z\in S\mid z\leq a\right\}$, $\left\{z\in S\mid z>a\right\}$, $\left\{z\in S\mid z\geq a\right\}$
• $\varnothing$, $\quad S$

Les quatre premières notations généralisent respectivement l'intervalle ouvert, l'intervalle fermé, l'intervalle semi-ouvert à gauche et l'intervalle semi-ouvert à droite. La cinquième notation est un cas particulier de section commençante ouverte ; les trois suivantes sont la section commençante fermée, la section finissante ouverte et la section finissante fermée déterminées par a, respectivement.

Il est donc tout à fait possible de définir dans ℤ l'intervalle des entiers relatifs compris entre –5 et 3 mais il serait dangereux de le noter [–5, 3] sans avertissement préalable à cause du risque de confusion avec la notation des intervalles de ℝ. On utilise parfois la notation avec des crochets blancs ⟦–5, 3⟧ et parfois la notation avec des crochets doubles (usage très répandu en probabilités).

Une intersection d'intervalles est encore un intervalle.

Article connexe

• Arithmétique des intervalles