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Interpolation linéaire

Les points rouges correspondent aux points (xk,yk), et la courbe bleue représente la fonction d'interpolation, composée de segments de droite.

L’interpolation linéaire est la méthode la plus simple pour estimer la valeur prise par une fonction continue entre deux points déterminés (interpolation). Elle consiste à utiliser pour cela la fonction affine (de la forme f(x) = m.x + b) passant par les deux points déterminés. Cette technique était d'un emploi systématique lorsque l'on ne disposait que de tables numériques pour le calcul avec les fonctions transcendantes : les tables comportaient d'ailleurs à cet effet en marge les « différences tabulaires », auxiliaire de calcul servant à l'interpolation linéaire.

Enfin l'interpolation linéaire est la base de la technique de quadrature numérique par la méthode des trapèzes.

PrincipeModifier

Supposons que l'on connaisse les valeurs prises par une fonction   en deux points   et   :

  •   et
  •  .

La méthode consiste à approcher la fonction   par la fonction affine   telle que   et   ; cette fonction a pour équation (trois formulations équivalentes) :

 

que l'on peut aussi écrire (formule de Taylor-Young au premier ordre) :

 .

ou encore :

 

Cette dernière formule correspond à la moyenne pondérée.

ExemplesModifier

Exemple 1Modifier

Par exemple, si nous souhaitons déterminer f(2,5) alors que l'on connaît les valeurs de f(2) = 0,9093 et f(3) = 0,1411, cette méthode consiste à prendre la moyenne des deux valeurs sachant que 2,5 est le milieu des deux points. On obtient par conséquent  .

Exemple 2Modifier

Soit à calculer sin 0,712 84
Les tables de Laborde donnent :

x sin x Δ (différence
tabulaire)
0,712 0,653 349 2
756 7
0,713 0,654 105 9
756 1
0,714 0,654 862 0

Dans ce cas :

  et  , car 0,712 < 0,71284 < 0,713 ;
  ;
 
et enfin  .

On a donc :  .

En pratique, on pose les calculs de la façon suivante :

sin 0,712   0,653 349 2
Δ × . . . . 84 . . . . . 635 628
sin 0,712 84   0,653 984 8

Le fabricant des tables explique qu'en procédant ainsi, l'erreur absolue est inférieure à 2 × 10-7. La même méthode est expliquée dans les tables de logarithmes de Bouvart et Ratinet.

PrécisionModifier

Cette méthode est rapide et aisée mais sa précision dépend beaucoup de l'écart  .

Le calcul différentiel et intégral permet, moyennant certaines hypothèses, de calculer l'erreur d'interpolation au pire de cas. En particulier, si la fonction f que l’on souhaite interpoler est deux fois continûment dérivable et si   alors l'erreur d'interpolation est donnée par :

  .

En d'autres termes, le majorant de l'erreur est proportionnel au carré de la distance entre les nœuds. D'autres méthodes d'interpolation permettent, en prenant appui sur trois ou davantage de points (au lieu de deux), d'espérer une diminution de l'erreur d'interpolation : par exemple la méthode des différences divisées de Newton, ou l'interpolation polynomiale. Cependant, certains cas sont sensibles au phénomène de Runge, où l'erreur d'interpolation explose quand on augmente le nombre de points.

L'interpolation linéaire peut être utilisée pour la recherche des zéros d'une équation (méthode de la fausse position) ou le calcul numérique d'intégrales (méthode des trapèzes).

Voir aussiModifier

ArticlesconnexesModifier

BibliographieModifier

  • Jean Laborde (préf. de Jean Kuntzmann), Tables numériques de fonctions élémentaires, éd. Dunod, 1961 (rééd. 1968, 1976) - 149 pages
  • André Delachet, Les logarithmes, PuF, coll. « Que sais-je ? », (réimpr. 1964, 1968, 1972, 1977), 128 p., « Le calcul logarithmique », p. 47-80