Inégalité de Bernoulli

En analyse, l'inégalité de Bernoulli — nommée d'après Jacques Bernoulli — énonce que :

pour tout entier[1] n > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1.

Démonstration par récurrenceModifier

Soit un réel  . Montrons l'inégalité pour tout entier n > 1, par récurrence[2] sur n.

  • Initialisation :   donc la propriété est vraie pour n = 2.
  • Hérédité : supposons (hypothèse de récurrence) que   et montrons que la propriété est vraie au rang suivant k + 1, c'est-à-dire montrons que  .
    En multipliant les deux membres de l'inégalité de l'hypothèse de récurrence par 1 + x (qui par hypothèse est positif ou nul) on obtient :  .
  • Conclusion : la propriété est vraie au rang 2 et elle est héréditaire donc vraie pour tout entier n ≥ 2.

GénéralisationModifier

Pour tout réel r > 1 et tout réel x non nul et supérieur ou égal à −1, on a encore :

 .

Notes et référencesModifier

  1. (en) Visualisation par une animation interactive, sur demonstrations.wolfram.com
  2. Une méthode plus rapide est d'utiliser la formule du binôme si x > 0 ((en) Eric W. Weisstein, « Bernoulli Inequality », sur MathWorld) et la formule de la somme des premiers termes d'une suite géométrique si −1 ≤ x < 0 ( ).