Groupe de Mathieu

En mathématiques, les groupes de Mathieu sont cinq groupes simples finis découverts par le mathématicien français Émile Mathieu. Ils sont habituellement perçus comme des groupes de permutations sur n points (où n peut prendre les valeurs 11, 12, 22, 23 ou 24) et sont nommés M_n.

Les groupes de Mathieu ont été les premiers groupes sporadiques découverts.

Les groupes M₂₄ et M₁₂ sont 5-transitifs, les groupes M₂₃ et M₁₁ sont 4-transitifs et M₂₂ est 3-transitif. Cette transitivité est même stricte pour M₁₁ et M₁₂.

Il résulte de la classification des groupes simples finis que les seuls groupes de permutations 4-transitifs sont les groupes symétrique et alterné (de degré ≥ 4 et ≥ 6 respectivement) et les groupes de Mathieu M₂₄, M₂₃, M₁₂ et M₁₁^[1].

Ordres modifier

Groupe	Ordre	Ordre factorisé
M₂₄	244 823 040	2¹⁰.3³.5.7.11.23
M₂₃	10 200 960	2⁷.3².5.7.11.23
M₂₂	443 520	2⁷.3².5.7.11
M₁₂	95 040	2⁶.3³.5.11
M₁₁	7 920	2⁴.3².5.11

Constructions des groupes de Mathieu modifier

Groupe d'automorphismes des systèmes de Steiner modifier

Il existe, à une équivalence près, un unique système de Steiner S(5,8,24). Le groupe M₂₄ est le groupe d'automorphismes de ce système de Steiner^[2], c’est-à-dire l'ensemble des permutations qui applique chaque bloc vers un certain autre bloc. Les sous-groupes M₂₃ et M₂₂ sont définis comme étant les stabilisateurs d'un point et de deux points respectivement.

De manière similaire, il existe, à une équivalence près, un unique système de Steiner S(5,6,12) et le groupe M₁₂ est son groupe d'automorphismes^[3]. Le sous-groupe M₁₁ est le stabilisateur d'un point.

Une autre construction de S(5,6,12) est le « chaton » de Curtis^[4]. Une autre encore utilise un groupoïde défini par John Conway en 1989^[5]^,^[6].

Groupe d'automorphisme du code de Golay modifier

Le groupe M₂₄ peut aussi être vu comme le groupe d'automorphismes du code de Golay binaire W, i.e., le groupe des permutations de coordonnées appliquant W vers lui-même. Nous pouvons aussi le regarder comme l'intersection de S₂₄ et Stab(W) dans Aut(V). Les mots code correspondent de manière naturelle aux sous-ensembles d'un ensemble de 24 objets. Ces sous-ensembles correspondant aux mots code à 8 ou 12 coordonnées égales à 1 sont appelés octades ou dodécades respectivement. Les octades sont des blocs d'un système de Steiner S(5,8,24).

Les sous-groupes simples M₂₃, M₂₂, M₁₂ et M₁₁ peuvent être définis comme des sous-groupes de M₂₄, stabilisateurs respectivement de coordonnée unique, une paire ordonnée de coordonnées, une paire de dodécades complémentaires et une paire de dodécade avec une coordonnée seule.

Le groupe M₁₂ est d'indice 2 dans son groupe d'automorphismes. En tant que sous-groupe de M₂₄, on obtient une action de M₁₂ sur la deuxième dodécade en comme l'image de son action sur la première dodécade par un automorphismes extérieur. Quant à M₁₁, c'est un sous-groupe de M₂₃ mais pas de M₂₂. Cette représentation de M₁₁ possède des orbites de 11 et 12. Le groupe d'automorphismes de M₁₂ est un sous-groupe maximal de M₂₄ d'indice 1 288.

Il existe une connexion très naturelle entre les groupes de Mathieu et les groupes de Conway plus grands parce que le code binaire de Golay et le réseau de Leech se trouvent tous deux dans des espaces à 24 dimensions. Les groupes de Conway se retrouvent à leur tour dans le groupe Monstre. Robert Griess fait référence aux 20 groupes sporadiques trouvés dans le Monstre comme la famille heureuse et aux groupes de Mathieu comme la première génération.

Groupe d'automorphismes de graphes modifier

Le groupe M₂₃ peut être vu comme le groupe d'automorphismes du graphe tronqué de Witt, un graphe 15-régulier possédant 506 sommets et 3 795 arêtes^[7].

Notes et références modifier

↑ p. 152 de (en) Shreeram S. Abhyankar, « Resolution of singularities and modular Galois theory », Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), vol. 38, n^o 2,‎ 2001, p. 131-169 (lire en ligne)
↑ Pour une introduction d'une construction de M₂₄ comme groupe d'automorphismes de S(5,8,24) via le « générateur d'octades miraculeux » de R. T. Curtis, voir Géométrie du carré 4x4.
↑ L'analogue de Conway pour S(5,6,12), le miniGOM, peut être trouvé dans (en) J. H. Conway et N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, coll. « GMW » (n^o 290), 1999, 3^e éd., 706 p. (ISBN 978-0-387-98585-5, lire en ligne).
↑ (en) R. T. Curtis, The Steiner System S(5,6,12), the Mathieu Group M₁₂ and the "Kitten", London, Academic Press, coll. « Computational Group Theory », 1984 (ISBN 9780120662708)
↑ John H. Conway, « Graphs and groups and M₁₃ », dans Notes from New York Graph Theory Day, 1987, p. 18-29
↑ John H. Conway, Noam D. Elkies et Jeremy L. Martin, « The Mathieu group M₁₂ and its pseudogroup extension M₁₃ », Experimental Mathematics, vol. 15, n^o 2,‎ 2006, p. 223-236 (DOI 10.1080/10586458.2006.10128958, MR 2253008, lire en ligne).
↑ (en) A. E. Brouwer, A. M. Cohen et A. Neumaier, « The Truncated Witt Graph Associated to M₂₃ », dans Distance Regular Graphs, New York, Springer-Verlag, 1989, p. 367-368, §11.4B

(en) J. H. Conway, R. T. Curtis, S. P. Norton, R. A. Parker et R. A. Wilson, ATLAS of Finite Groups : maximal subgroups and ordinary characters for simple groups, Oxford, OUP, 1985, 252 p. (ISBN 0-19-853199-0)
(en) R. T. Curtis, « A new combinatorial approach to M₂₄ », Math. Proc. Camb. Phil. Soc., vol. 79,‎ 1976, p. 25-42
(en) Robert L. Griess, Twelve Sporadic Groups, Springer-Verlag, 1998
É. Mathieu, « Mémoire sur l’étude des fonctions de plusieurs quantités, sur la manière de les former et sur les substitutions qui les laissent invariables », Journal de Liouville,‎ 1861, p. 241 et s.
É. Mathieu, « Sur la fonction cinq fois transitive de 24 quantités », Journal de Liouville, vol. (2) XVIII,‎ 1873, p. 25-47
(en) Thomas M. Thompson, From Error Correcting Codes through Sphere Packings to Simple Groups, MAA, coll. « Carus Mathematical Monographs », 1983

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mathieu group » (voir la liste des auteurs).

Lien externe modifier

« Moggie »^{(Archive.org • Wikiwix • Archive.is • Google • Que faire ?)} (consulté le 29 août 2017) Applet Java pour étudier la construction GOM de Curtis.

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[1] . 152 de (en) Shreeram S. Abhyankar, « Resolution of singularities and modular Galois theory », Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), vol. 38, n^o 2,‎ 2001, p. 131-169 (lire en ligne)

[2] Pour une introduction d'une construction de M₂₄ comme groupe d'automorphismes de S(5,8,24) via le « générateur d'octades miraculeux » de R. T. Curtis, voir Géométrie du carré 4x4.

[3] L'analogue de Conway pour S(5,6,12), le miniGOM, peut être trouvé dans (en) J. H. Conway et N. J. A. Sloane, Sphere Packings, Lattices and Groups, Springer-Verlag, coll. « GMW » (n^o 290), 1999, 3^e éd., 706 p. (ISBN 978-0-387-98585-5, lire en ligne).

[4] (en) R. T. Curtis, The Steiner System S(5,6,12), the Mathieu Group M₁₂ and the "Kitten", London, Academic Press, coll. « Computational Group Theory », 1984 (ISBN 9780120662708)

[5] John H. Conway, « Graphs and groups and M₁₃ », dans Notes from New York Graph Theory Day, 1987, p. 18-29

[6] John H. Conway, Noam D. Elkies et Jeremy L. Martin, « The Mathieu group M₁₂ and its pseudogroup extension M₁₃ », Experimental Mathematics, vol. 15, n^o 2,‎ 2006, p. 223-236 (DOI 10.1080/10586458.2006.10128958, MR 2253008, lire en ligne).

[7] (en) A. E. Brouwer, A. M. Cohen et A. Neumaier, « The Truncated Witt Graph Associated to M₂₃ », dans Distance Regular Graphs, New York, Springer-Verlag, 1989, p. 367-368, §11.4B

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