Ouvrir le menu principal

La fraction continue de Rogers-Ramanujan est une fraction continue généralisée découverte par Leonard James Rogers (en) en 1894 et indépendamment par Srinivasa Ramanujan vers 1910, qui est étroitement reliée aux identités de Rogers-Ramanujan ; il est possible d'en donner une forme explicite pour de nombreuses valeurs de son argument.

Représentation par coloration de régions des réduites de la fonction , où est la fraction continue de Rogers-Ramanujan.

DéfinitionModifier

Étant données les fonctions G(q) et H(q) apparaissant dans les identités de Rogers-Ramanujan,

 

et

 

  représente le q-symbole de Pochhammer infini, j est le j-invariant, et 2F1 est la fonction hypergéométrique (les coefficients des développements en séries entières forment les suites de l'OEIS  A003114 et  A003106, respectivement), la fraction continue de Rogers-Ramanujan est

 

Fonctions modulairesModifier

Si  , alors   et  , ainsi que leur quotient  , sont des fonctions modulaires de  . Comme elles ont des coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe implique que leurs valeurs, lorsque   est de la forme  , sont des nombres algébriques qui peuvent être calculés explicitement.

ExemplesModifier

 
 

  est le nombre d'or (ces formules figuraient dans la première lettre que Ramanujan avait envoyée à Hardy, et faisaient partie de celles qui avaient stupéfié ce dernier[1]).

Liens avec les formes modulairesModifier

  peut s'exprimer à l'aide de la fonction êta de Dedekind, une forme modulaire de poids 1/2, car on a (en posant  )[2] :

 
 {{|}}

Liens avec le j-invariantModifier

Parmi les nombreuses relations vérifiées par le j-invariant, on a

 

 

Éliminant le quotient, on peut exprimer j(τ) en termes de   :

 

où le numérateur et le dénominateur sont des invariants polynomiaux de l'icosaèdre. La relation modulaire entre   et   a pour conséquence

 

Soit   ; alors

 

 

ce qui est le j-invariant de la courbe elliptique  , paramétrée par les points réguliers de la courbe modulaire  .

Équation fonctionnelleModifier

On pose désormais systématiquement  , avec q = e2πiτ. Là où d'autres fonctions modulaires, par exemple le j-invariant, vérifient :

 

et qu'on a pour la fonction êta de Dedekind :

 

l'équation fonctionnelle de la fraction continue de Rogers–Ramanujan met en jeu[3] le nombre d'or   :

 .

On a d'autre part  .

Équations modulairesModifier

Il y a des relations modulaires entre   et  , particulièrement élégantes pour certaines petites valeurs premières de n[4] :

Soit   et   ; alors :

Pour  ,  


Pour  ,  


Pour  ,  


Pour  ,  


De plus, on peut remarquer que les facteurs apparaissant pour   se retrouvent dans le cas  , puisque :

 

Autres résultatsModifier

Ramanujan a découvert beaucoup d'autres propriétés intéressantes de R(q)[5]. Posant  ,  , et   le nombre d'or,

si  , alors  
si  , alors  

Les puissances de R(q) vérifient également des relations inattendues. Ainsi,

 

 
 

Posant  , on a

 

RéférencesModifier

  1. (en) Godfrey Harold Hardy, « The Indian Mathematician Ramanujan » [« Le mathématicien indien Ramanujan »], The American Mathematical Monthly, vol. 44, no 3,‎ , p. 137-155 (lire en ligne)
  2. (en) Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions", http://www.math.ucla.edu/~wdduke/preprints/bams4.pdf
  3. (en) Duke, W. "Continued Fractions and Modular Functions" (p.9)
  4. (en) Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction" [lire en ligne].
  5. (en) Berndt, B. et al. "The Rogers–Ramanujan Continued Fraction"
  • (en) L. J. Rogers, « Second Memoir on the Expansion of certain Infinite Products », Proc. London Math. Soc., vol. s1-25, no 1,‎ , p. 318–343 (DOI 10.1112/plms/s1-25.1.318)
  • (en) B. C. Berndt, H. H. Chan, S. S. Huang, S. Y. Kang, J. Sohn et S. H. Son, « The Rogers–Ramanujan continued fraction », Journal of Computational and Applied Mathematics, vol. 105,‎ , p. 9 (DOI 10.1016/S0377-0427(99)00033-3, lire en ligne)

Liens externesModifier