Fonction zêta de Dedekind

En mathématiques, la fonction zêta de Dedekind est une série de Dirichlet définie pour tout corps de nombres $K$ . C'est la fonction de la variable complexe $s$ définie par la somme infinie :

\zeta _{K}(s)=\sum \left(N_{K/\mathbb {Q} }(I)\right)^{-s}~({\text{si Re}}(s)>1)

prise sur tous les idéaux $I$ non nuls de l'anneau $O K$ des entiers de $K$ , où $N K /ℚ (I)$ désigne la norme de $I$ (relative au corps ℚ des rationnels). Cette norme est égale au cardinal de l'anneau quotient $O K / I$ . En particulier, $ζ ℚ$ est la fonction zêta de Riemann. Les propriétés de la fonction méromorphe $ζ K$ ont une signification considérable en théorie algébrique des nombres.

Propriétés modifier

Cette fonction possède un développement en produit eulérien avec comme facteur associé à chaque nombre premier $p$ : le produit, pris sur tous les idéaux premiers $P$ de $O K$ divisant $p$ , des

(1-\left(N_{K/\mathbb {Q} }(P)\right)^{-s})^{-1}.

Ceci est l'expression en termes analytiques de l'unicité de la factorisation en nombres premiers des idéaux I.

Il est connu (démontré en général en premier par Erich Hecke) que $ζ K (s)$ a un prolongement analytique dans le plan complexe entier en fonction méromorphe, ayant un pôle simple seulement à $s$ = 1. Le résidu à ce pôle est une quantité importante, impliquant les invariants du groupe des unités et du groupe des classes de $K$ . Il existe une équation fonctionnelle pour la fonction zêta de Dedekind, en reliant ses valeurs à $s$ et $1 - s$ .

Pour le cas dans lequel $K$ est une extension abélienne de ℚ, sa fonction zêta de Dedekind peut être écrite comme un produit de fonctions L de Dirichlet. Par exemple, quand $K$ est un corps quadratique ceci montre que le rapport

{\frac {\zeta _{K}(s)}{\zeta _{Q}(s)}}\,

est une fonction L

L(s,\chi )\,

où $\chi \,$ est un symbole de Jacobi comme caractère de Dirichlet. Ceci est une formulation de la loi de réciprocité quadratique.

En général si $K$ est une extension galoisienne de ℚ avec un groupe de Galois $G$ , sa fonction zêta de Dedekind possède une factorisation comparable en termes de fonctions L d'Artin. Celles-ci sont attachées aux représentations linéaires de $G$ .

Article connexe modifier

Formule du nombre de classes

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Dedekind zeta function » (voir la liste des auteurs).