Fonction logarithmiquement convexe

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse, une fonction à valeurs strictement positives est dite logarithmiquement convexe si sa composée par le logarithme népérien est convexe.

Définition formelleModifier

Soient   un intervalle réel et  . On dit que   est logarithmiquement convexe si, pour tous points   de   et tout  , on a l'inégalité suivante :

 ,

soit encore, en prenant l'exponentielle :

 .

De façon équivalente,   est logarithmiquement convexe si pour tout intervalle non trivial  , les réels   déterminés par   vérifient :

 .

ExemplesModifier

Une caractérisationModifier

  est logarithmiquement convexe si et seulement si pour tout  , l'application   est convexe.

PropriétésModifier

  • Toute fonction logarithmiquement convexe est convexe.
    C'est un corollaire de la caractérisation ci-dessus[2].
    La réciproque est fausse, comme le montre le contre-exemple classique de la fonction xx2.
  • La somme et le produit de deux fonctions logarithmiquement convexes est logarithmiquement convexe.
    Ces deux propriétés se déduisent du fait que la somme de deux fonctions convexes est convexe, en utilisant l'équation fonctionnelle du logarithme pour la stabilité par produit, et la caractérisation ci-dessus pour la stabilité par somme[3].

Généralisation aux fonctions d'une variable vectorielleModifier

Soient   un espace vectoriel réel et   un convexe de  .

Une application   est dite logarithmiquement convexe si   est convexe sur C.

Les deux propriétés ci-dessus s'étendent immédiatement à ce cadre, puisqu'une fonction est convexe sur C si et seulement si sa « restriction »   à tout segment   est une fonction convexe de la variable réelle t ∈ [0, 1].

De même, on déduit facilement de la caractérisation ci-dessus qu'une application   est logarithmiquement convexe sur C si et seulement si, pour toute forme linéaire   sur  , l'application   est convexe[4].

Notes et référencesModifier

  1. Pour une généralisation, voir Artin 2015, p. 10, Theorem 1.9.
  2. Pour une démonstration plus directe, cf. Propriété 9 de la leçon « Fonctions convexes » sur Wikiversité.
  3. Pour une autre démonstration de la stabilité par somme, voir Artin 2015, p. 8-9, Theorem 1.8.
  4. Démontré sous des hypothèses supplémentaires dans Hiriart-Urruty 2009, p. 30-31, exercice I.15.

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

Articles connexesModifier