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La fonction z = x2y2 est un exemple de fonction convexe-concave.

En mathématiques, une fonction convexe-concave est une fonction définie sur un produit d'espaces vectoriels réels, qui est convexe par rapport à la première variable (quelle que soit la seconde variable) et concave par rapport à la seconde (quelle que soit la première). Une fonction concave-convexe est une fonction dont l'opposée est convexe-concave. On rassemble parfois ces deux types de fonctions sous le vocable de fonction de point-selle, qui est donc une notion moins précise (on ne dit pas si la convexité a lieu par rapport à la première ou la seconde variable) et qui prête à confusion (ces fonctions n'ont pas nécessairement de point-selle).

Les fonctions convexes-concaves apparaissent en optimisation (le lagrangien en est un exemple), dans les problèmes d'équilibre (théorie des jeux), etc.

Connaissances supposées : notions de fonctions convexe et concave, de sous-différentiabilité.

Sommaire

DéfinitionsModifier

Soient   et   deux espaces vectoriels sur l'ensemble des réels  . On note   la droite réelle achevée.

Fonction convexe-concave — Une fonction   est dite convexe-concave, si

  • pour tout  , la fonction   est convexe,
  • pour tout  , la fonction   est concave.

Une fonction convexe-concave   est dite propre s'il existe un point   tel que   ne prend pas la valeur   et   ne prend pas la valeur   (donc  ) ; le domaine effectif de   est l'ensemble des points   vérifiant cette propriété ; on le note  .

Fonction convexe-concave ferméeModifier

La définition d'une fonction convexe-concave fermée ne doit pas être confondue avec celle d'une fonction convexe fermée. Si la fermeture d'une fonction (convexe) est équivalente à sa semi-continuité inférieure, la fermeture d'une fonction convexe-concave ne l'est pas. Cette dernière notion est aussi plus générale (i.e., moins forte) que la semi-continuité inférieure par rapport à la première variable jointe à la semi-continuité supérieure par rapport à la seconde variable. Elle donne en fait des conditions assez générales assurant la monotonie maximale d'un « opérateur dérivé » associé. On s'y prend de la manière suivante[1].

Fonction convexe-concave fermée — Soit   une fonction convexe-concave.

  • On note
     

    la fonction telle que, pour tout  ,   est la fermeture de la fonction convexe  . De même, on note
     

    la fonction telle que, pour tout  ,   est la fermeture de la fonction convexe  .
  • On dit que   est équivalente à la fonction convexe-concave   si

     

    C'est une relation d'équivalence.
  • On dit que   est fermée, si   et   sont équivalentes à  , ce qui revient à dire que

     

MonotonieModifier

On sait qu'une fonction réelle d'une variable réelle différentiable et convexe a sa dérivée croissante. Ce fait se généralise aux fonctions convexes propres, définies sur un espace vectoriel, par le fait que leur sous-différentiel est un opérateur monotone (voir ici). Le résultat ci-dessous[2] montre que l'on a aussi une relation de monotonie pour un opérateur sous-différentiel associé à une fonction convexe-concave.

On note   le sous-différentiel de la fonction convexe   en  ,   le sous-différentiel de la fonction convexe   en   et   le domaine de l'opérateur multivoque  .

Monotonie — Soient   et   deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés et   une fonction convexe-concave propre. Alors, l'opérateur multivoque   défini en   par

 

est monotone. De plus

 

L'opérateur   introduit dans le résultat de monotonie ci-dessus est appelé l'opérateur monotone associé à  . On vérifie aisément que

 

En particulier

 

Monotonie maximaleModifier

Dans cette section, on examine la monotonie maximale de l'opérateur monotone   associé à une fonction convexe-concave introduit dans la section précédente. Cette propriété joue un rôle essentiel dans le fait que l'inclusion   puisse avoir une solution  , ainsi que dans la convergence des algorithmes calculant de telle solution ; elle est en quelque sorte le pendant de la semi-continuité inférieure des fonctions en optimisation.

On commence par un résultat pour les fonctions convexes-concaves ne prenant que des valeurs finies[3].

Monotonie maximale I (fonction à valeurs finies) — Soient   et   deux espaces vectoriels topologiques localement convexes séparés et   une fonction convexe-concave prenant des valeurs finies et telle que

  • pour tout  ,   est continue,
  • pour tout  ,   est continue.

Alors, l'opérateur monotone   associé à   est monotone maximal. De plus, pour tout  ,   est un convexe non vide faible-  compact de  .

Sachant qu'une fonction convexe ne prenant que des valeurs finies et définie sur un espace vectoriel de dimension finie est nécessairement continue, on obtient tout de suite le corollaire suivant[4].

Corollaire (dimension finie) — Soient   et   deux espaces vectoriels de dimension finies et   une fonction convexe-concave prenant des valeurs finies. Alors, l'opérateur monotone   associé à   est monotone maximal et, pour tout  ,   est un convexe non vide compact de  .

Le résultat de monotonie maximale ci-dessous généralise le précédent en permettant la fonction convexe-concave de prendre des valeurs infinies. Cependant cette fonction doit être fermée et les espaces doivent être des espaces de Banach (l'un étant réflexif)[5].

Monotonie maximale II (fonction avec des valeurs infinies) — Soient   et   deux espaces de Banach dont l'un au moins est réflexif et   une fonction convexe-concave propre fermée. Alors, l'opérateur monotone associé à   est monotone maximal.

Si   est une fonction convexe-concave propre fermée,   n'est pas nécessairement semi-continue inférieurement et   n'est pas nécessairement semi-continue supérieurement[6], mais si l'on fait ces hypothèses de semi-continuité quels que soient   et  , alors   est fermée et on peut appliquer le théorème.

Corollaire (fonction sci-scs) — Soient   et   deux espaces de Banach dont l'un au moins est réflexif et   une fonction convexe-concave propre telle que

  • pour tout  ,   est semi-continue inférieurement,
  • pour tout  ,   est semi-continue supérieurement.

Alors,   est fermée et l'opérateur monotone associé est monotone maximal.

On peut encore particulariser le résultat donné dans le corollaire précédent au cas où la fonction convexe-concave   est obtenue par restriction à un produit de convexes   et   d'une fonction convexe-concave   ne prenant que des valeurs finies.

Corollaire (restriction d'une fonction à valeurs finies) — Soient   et   deux espaces de Banach dont l'un au moins est réflexif et   une fonction convexe-concave propre définie en   par

 

  et   sont deux convexes fermés non vides et   est une fonction convexe-concave ne prenant que des valeurs finies et telle que, quels que soient  ,   est semi-continue inférieurement et   est semi-continue supérieurement. Alors,   est une fonction convexe-concave propre et l'opérateur monotone associé est monotone maximal.

AnnexesModifier

NotesModifier

  1. Section 34 chez Rockafellar (1970a)
  2. Théorème 1 chez Rockafellar (1970b).
  3. Théorème 2 chez Rockafellar (1970b).
  4. Corollaire 1 chez Rockafellar (1970b).
  5. Théorème 3 chez Rockafellar (1970b).
  6. Section 34 chez Rockafellar (1970a).

Articles connexesModifier

BibliographieModifier

  • (en) R.T. Rockafellar (1970a). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
  • (en) R.T. Rockafellar (1970b). Monotone operator associated with saddle functions and minimax problems. In F.E. Browder, éditeur, Nonlinear Functional Analysis, Part 1, pages 397–407. Symposia in Pure Math., vol. 18, Amer. Math. Soc., Providence, R.I.