En géométrie, un polytope (un polygone, un polyèdre ou un pavage, par exemple) est isotoxal si son groupe de symétrie agit transitivement sur ses côtés. Informellement, cela veut dire qu'il y a un seul type de côté dans cet objet : pour deux côtés de l'objet, il y a une translation, une rotation et/ou une réflexion qui transforme un côté en l'autre, tout en laissant la région occupée par l'objet inchangée. Le terme isotoxal est dérivé du Grec τοξον qui veut dire arc.

Polygone isotoxalModifier

Un polygone isotoxal est un polygone équilatéral, mais les polygones équilatéraux ne sont pas tous isotoxaux. Par exemple, un pentagone équilatéral ayant un sommet "rentré" vers son intérieur n'est pas isotoxal (donc pas régulier).

En général, un 2n-gone isotoxal a une symétrie diédrale Dn (*nn). Par exemple, un losange non carré est un 2×2-gone isotoxal, avec une symétrie D2 (*22), mais n'est pas régulier (car pas isogonal).

Tous les polygones réguliers (triangle équilatéral, carré, etc.) sont isotoxaux, en ayant le double de l'ordre de symétrie minimale : un n-gone régulier a une symétrie diédrale Dn (*nn). Par exemple, un carré a une symétrie diédrale D4 (*44).

Exemple de polygones isotoxaux
Symétrie

diédrale

D2 (*22) D3 (*33) D4 (*44) D5 (*55)
Nom losange Triangle équilatéral Hexagone concave Hexagramme Carré Octogone convexe Pentagone régulier Pentagramme Décagramme
Image                  

Les polygones isotoxaux sont les duaux des polygones isogonaux.

Polyèdres isotoxaux et pavagesModifier

 
Le pavage rhombique (en) est un pavage isotoxal avec une symétrie p6m (*632).

Un polyèdre ou un pavage isotoxal doit être ou isogonal (mêmes sommets), ou isoédral (mêmes faces), ou les deux.

Un polyèdre régulier est isoédral, isogonal et isotoxal. Les polyèdres quasi réguliers sont isogonaux et isotoxaux, mais pas isoédraux ; leur duaux sont isoédraux et isotoxaux, mais pas isogonaux.

Les polyèdres ou les pavages bidimensionnels construits à partir de polygones réguliers ne sont pas forcément isotoxaux. Par exemple, l'icosaèdre tronqué ("ballon de football") a deux types de côtés : hexagone-hexagone et hexagone-pentagone, donc n'est pas isotoxal (donc pas régulier) ; en effet, une symétrie de solide ne peut pas transformer un côté hexagone-hexagone en un côté hexagone-pentagone.

Un polyèdre isotoxal possède le même angle dièdre pour tous ses côtés.

Il y a neuf polyèdres isotoxaux convexes : dérivés des solides de Platon, huit concaves : dérivés des solides de Kepler-Poinsot, trois comme polyèdres étoilés quasi-réguliers ditrigonaux (3 | p q), et trois comme leurs duaux.

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier

BibliographieModifier

  • (en) Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, (ISBN 0-521-55432-2), p. 371 Transitivity
  • (en) Grünbaum, Branko; and Shephard, G. C., Tilings and Patterns, New York, W. H. Freeman, (ISBN 0-7167-1193-1) (6.4 Isotoxal tilings, 309-321)