Fibré en coniques

Richard et Ilse Brauer en 1970.

En géométrie algébrique, un fibré en conique est une variété algébrique particulière. Ces surfaces apparaissent historiquement comme les solutions d'une équation cartésienne de la forme

Théoriquement, on les considère comme des surfaces de Severi-Brauer (en)[1]. Plus précisément comme des surfaces de Châtelet[2]. On les obtient comme revêtement de degré 2 d'une surface réglée standard.

On peut également les regarder, à isomorphisme près, comme associées à un symbole dans le deuxième groupe de cohomologie du corps .

Il s'agit de surfaces dont on connaît bien les groupes de diviseurs et qui, pour les plus simples, se partagent avec les surfaces de Del Pezzo (en)[3] la propriété d'être rationnelles. Toutefois de nombreux problèmes de mathématiques contemporaines demeurent ouverts, notamment, pour celles qui ne sont pas rationnelles, celui de leur unirationalité, c'est-à-dire de l'existence, sur ces surfaces, d'au moins une courbe algébrique.

Une version naïveModifier

Pour décrire correctement un fibré en coniques, il convient d'abord de réduire la forme quadratique du membre de gauche. On obtient ainsi, après un changement de variable innocent, une expression simple, du type  .

Dans un second temps, il convient de se placer dans un espace projectif de façon à compléter la surface à l'infini.

Pour cela, on écrit l'équation en coordonnées homogènes et on exprime en premier lieu la partie visible du fibré. Pour   et   vérifiant  .

Cela ne suffit pas pour compléter le fibré (de façon propre et lisse), et on le recolle alors à l'infini par un changement de cartes classique :

Vu de l'infini, (c'est-à-dire au travers du changement  ), le même fibré (exceptées les fibres   et  ), s'écrit comme l'ensemble des solutions de    apparaît naturellement comme le polynôme réciproque de  . On détaille ci-dessous ce qu'il en est du changement de cartes  .

Le fibré  Modifier

Pour aller un peu plus loin, tout en simplifiant la question, on se limite au cas où le corps   est de caractéristique nulle et on note par   un entier naturel non nul. On note   un polynôme à coefficients dans le corps  , de degré   ou  , mais sans racine multiple. On considère le scalaire  , élément non carré du corps de base.

On définit   le polynôme réciproque de P, et on note   le fibré défini de la manière suivante :

Définition :

  est la surface obtenue en recollant les deux surfaces :   et   de   d'équations   et   le long des ouverts   et   par les isomorphismes   ,   et  .

On montre le résultat suivant :

Propriété fondamentale :

La surface   est une  surface propre et lisse ; l'application   définie par   sur   et   sur   munit   d'une structure de fibré en coniques sur  .

L'Intérêt de cette approcheModifier

Elle permet de donner d'un fibré en conique un modèle simple. Elle permet surtout d'exhiber le revêtement de ce fibré en conique comme celui d'une surface réglée standard. Le langage classique, en terme cohomologique, s'y retrouve aisément. On examinera pour s'en convaincre le problème de l'unirationalité [4].

UnirationalitéModifier

La question de l'unirationalité de ces surfaces algébriques est ouvert[5]. il s'agit de tracer sur la surface une courbe algébrique (c'est-à-dire qu'on ne s'autorise que des annulations de polynômes) dont les coefficients sont dans le corps de base.

L'existence d'une telle courbe répond à un certain type de conjectures sur les surfaces de Severi-Brauer : voir Conjectures de Mazur. Il s'interprète en termes cohomologiques de la façon suivante :

Soit   un corps et   sa clôture séparable ; le groupe de cohomologie galoisienne   est le groupe de Brauer du corps  .

On note   le sous-groupe de   formé des éléments tués par 2.

Si   et   sont deux éléments de  , le cup produit   des classes de   et   dans   caractérise la conique d'équation :   à  isomorphisme près.

On en déduit que la conique   a des points rationnels dans un sur-corps   de   si et seulement si l'image   de   par le morphisme de restricition est triviale.

L'unirationalité du fibré se traduit dans ce langage en prenant    est un corps de nombres. Généralement, on se limite dans le cas où le symbole s'écrit   avec   un élément de  .

Si   est une fraction rationnelle non constante, on note   le morphisme de restriction associé à l'injection du corps   dans le corps   qui envoie   sur  .

On a  .

Dans ce langage, l'unirationalité du fibré en coniques   est bien équivalente à l'existence d'une fraction rationnelle non constante   telle que   est l'élément neutre de  .

En effet, cela traduit simplement l'idée qu'il existe trois fractions rationnelles   ;   ;   définies sur   telles que l'égalité   soit vraie dans  

Enfin, le corps   étant de caractéristique 0, la suite exacte de Fadeev (cf ci-dessous) permet d'exprimer la nullité d'un élément de   en termes de résidus.

Notes et référencesModifier

Lien externeModifier

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