Fenêtre de lancement

En astronautique, une fenêtre de tir, ou fenêtre de lancement, est un intervalle de temps au cours duquel sont réunies les conditions optimales pour le lancement d'une fusée.

Distance Terre-Mars et fenêtres de lancement adaptées, tous les 26 mois (ici pour les années 2012 à 2024).

Animation montrant la trajectoire de la sonde InSight rejoignant Mars.

InSight

Terre

Mars

La navigation spatiale, entre des emplacements mobiles, étant essentiellement balistique, il convient de lancer dans la bonne direction, au bon moment et avec le bon delta-v sous peine de devoir faire des corrections coûteuses en carburant.

Calcul

Soit la Terre supposée sphérique. Le champ gravitationnel est donc central et en $\scriptstyle {1/r^{2}}$. L'orbite d'un satellite suivra les lois de Kepler. Pour mettre un satellite en orbite circulaire à la distance $\scriptstyle {r_{0}}$, il faut une vitesse initiale $\scriptstyle {\vec {v_{0}}}$ perpendiculaire à $\scriptstyle {\vec {OM_{0}}}$ et de module $\scriptstyle {v_{0}}$ telle que $\scriptstyle {{\frac {v_{0}^{2}}{r_{0}}}=g{\frac {R^{2}}{r_{0}^{2}}}}$ soit

$v_{0}={\sqrt {\frac {gR^{2}}{r_{0}}}}=v_{1}{\sqrt {\frac {R}{r_{0}}}}$,

dans laquelle $\scriptstyle {v_{1}={\sqrt {gR}}}$ est la première vitesse cosmique $\scriptstyle {v_{1}=7,9km/s=28500km/h}$ pour la Terre, ou vitesse de Schuler, c'est-à-dire la vitesse, toute théorique, à laquelle il faudrait lancer un satellite pour qu'il se mette en orbite au ras du sol.

En fonction de l'altitude $\scriptstyle h$, définie par $\scriptstyle {r_{0}=R+h}$, la vitesse sur l'orbite circulaire s'exprime par

$v_{0}=v_{1}{\sqrt {1+{\frac {1}{h/R}}}}=v_{1}\left(1-{\frac {h}{2R}}+\cdots \right)$

Par exemple:

• $\scriptstyle {h\approx 100km}$ pour les satellites militaires et d'observation : $\scriptstyle {v_{0}\approx 8km/s\approx 29600km/h}$
• $\scriptstyle {h\approx 800km}$ pour Jason et Spot, les satellites héliosynchrones  : $\scriptstyle {v_{0}\approx 8,4km/s\approx 30200km/h}$

Il s'agit alors d'évaluer l'effet d'une erreur sur la vitesse, en module ou en direction, en particulier du risque que le satellite ne s'écrase dans l'atmosphère. C'est le problème dit de la fenêtre de tir.

Bonne direction, mauvaise vitesse

Si le satellite est lancé dans la bonne direction, mais avec une vitesse trop grande, alors il est largué au périgée. Il est à la distance minimale de la Terre et ne tombera plus.

Si le satellite est lancé dans la bonne direction, mais avec une vitesse réelle $\scriptstyle v$ plus petite que la vitesse nominale $\scriptstyle v_{0}$, il est alors largué à l'apogée. Il faut que le périgée, à l'opposé de la trajectoire, soit à une distance supérieure au rayon terrestre $\scriptstyle R$, autrement dit, que le grand axe $\scriptstyle {2a>R+r_{0}}$.

On rappelle la formule donnant l'énergie mécanique de l'orbite limite $\scriptstyle {E=-mg{\frac {R^{2}}{2a}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-mg{\frac {R^{2}}{r_{0}}}}$.

On doit donc avoir $\scriptstyle {{\frac {1}{2}}mv^{2}>mgR^{2}\left({\frac {1}{r_{0}}}-{\frac {1}{R+r_{0}}}\right)=mg{\frac {R^{3}}{r_{0}\left(R+r_{0}\right)}}=mg{\frac {R^{2}}{r_{0}}}{\frac {R}{R+r_{0}}}=mv_{0}^{2}{\frac {R}{2R+h}}={\frac {1}{2}}mv_{0}^{2}{\frac {1}{1+h/{2R}}}}$. Autrement dit, on doit avoir

$v>v_{0}{\sqrt {\frac {1}{1+h/{2R}}}}=v_{0}\left(1-{\frac {h}{4R}}+\cdots \right)$

.

Pour $\scriptstyle {h=800km}$, la vitesse réelle ne doit pas être inférieure à $\scriptstyle {{\frac {800}{4R}}=3\%}$ de la vitesse nominale. Et pour $\scriptstyle {h=100km}$, la tolérance tombe à $\scriptstyle {0,4\%}$ !

Bonne vitesse, mauvaise direction

Bon module, donc bonne énergie, donc 2a = 2r°. Donc M° est l'extrémité B du petit axe, qui se projette au centre C de l'ellipse, sur la droite parallèle à V°, passant par O : donc l'excentricité e vaut sin$\alpha$ : le périgée sera à OP = a − c = r°(1 − sin$\alpha$).

Soit sin$\alpha$ < h/R, donc $\alpha$ < (~h/R) (= 1/8 rd = 7° pour Spot) et ~1° pour h = 100 km : c'est une petite fenêtre de tir, sans gravité : on sait pointer à mieux que le demi-degré.

Référence

• Droit français : arrêté du 20 février 1995 relatif à la terminologie des sciences et techniques spatiales.
• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Fenêtre de tir (astronautique) » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

• Lois de Kepler
• Orbite
• Mécanique céleste
• Mécanique spatiale
• Rendez-vous spatial