Elliptic curve digital signature algorithm

Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA) est un algorithme de signature numérique à clé publique, variante de DSA. Il fait appel à la cryptographie sur les courbes elliptiques.

IntroductionModifier

L’algorithme a été proposé en 1992 par Scott Vanstone, en réponse à un appel d'offres pour les signatures numériques du National Institute of Standards and Technology (NIST). Vanstone fonda la société Certicom en 1985, et son entreprise détient la plupart des brevets des algorithmes à base de courbes elliptiques. Les avantages de ECDSA sur DSA et RSA sont des longueurs de clés plus courtes et des opérations de signature et de chiffrement plus rapides.

ECDSA est défini par le standard ANSI X9.62-1998, Public Key Cryptography For The Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital Signature Algorithm (ECDSA)[1].

AlgorithmeModifier

Soit une courbe de formule  . C'est une courbe elliptique sur un corps d'entiers fini modulo p avec p un nombre premier et un point G de la courbe (appelé point de base). L'ordre de G est n, le plus petit entier tel que nG donne   le point à l'infini de la courbe et élément neutre du groupe commutatif sur les points de la courbe. Pour que tous les entiers entre 1 et n-1 soient inversibles modulo n, il est impératif que l'anneau   soit un corps, et donc que n soit un nombre premier (c'est une conséquence du théorème de Bézout). Ainsi, dans ce qui suit, la notation   lorsque   est un entier entre 1 et n-1 désigne l'inverse de   dans le corps  .

Préparation des clésModifier

  • Choisir un entier s entre   et   qui sera la clé privée.
  • Calculer   en utilisant l'élément de la courbe elliptique.
  • La clé publique est Q et la clé privée est s.

SignatureModifier

  • Choisir de manière aléatoire un nombre k entre 1 et n-1
    • voir Annexe B5 de FIPS 186-4[2] pour les méthodes recommandées de génération de ce nombre.
    • Sony, lors de la sécurisation de la PS3, n'a pas suffisamment pris de soin lors du choix de ce nombre ce qui a permis de retrouver la clé privée[3],[4]
    • EdDSA utilise une méthode déterministe pour calculer ce nonce cryptographique
    • Pour la signature des transactions de cryptomonnaies certaines implémentations[5] utilisent un calcul de type HMAC pour obtenir k
  • Calculer  
  • Calculer   ; si  , aller à la première étape
  • Calculer   où H(m) est le résultat d'un hachage cryptographique sur le message m à signer, souvent SHA-1 (le NIST et l'ANSSI conseillent de ne plus utiliser SHA-1 mais SHA-256 ou SHA-512, ethereum utilise Keccak-256, une variante de SHA-3)
  • Si  , aller à la première étape
  • La signature est la paire (x, y).

Comme indiqué dans les normes, il est crucial que non seulement   soit secret (sinon on peut trouve   à partir de la signature et  ) mais aussi de choisir un   différent à chaque signature (en tirant   au hasard, le probabilité de tomber sur un nombre déjà utilisé est du même ordre que de trouver la clé privée par hasard) car sinon, on peut trouver la clé privée : avec deux signatures   et  , utilisant le même   pour deux messages   et  , et comme   (mod  ), on trouve   et donc   en utilisant  .

VérificationModifier

  • Vérifier que Q est différent de   (le point à l'infini) et que Q appartient bien à la courbe elliptique
  • Vérifier que nQ donne  
  • Contrôler que x et y sont bien entre 1 et n-1
  • Calculer  
  • Vérifier que  .

DémonstrationModifier

 

 

 

 

     

Donc si  , la signature est vérifiée.

SécuritéModifier

Puisque tous les algorithmes connus pour résoudre le problème du logarithme discret sur les courbes elliptiques sont en   (Baby-step giant-step, L'algorithme de rho Pollard), la taille du corps doit donc être approximativement deux fois plus grande que le paramètre de sécurité voulu. Pour un degré de sécurité de 128-bits (AES-128, RSA-3072), on prendra une courbe sur un corps  , où  .

IntégrationModifier

En pratique l'ECDSA repose souvent sur des courbes recommandées par des organisations comme le NIST ou Certicom.

Le NIST recommande par exemple quinze courbes elliptiques différentes sur dix corps différents. Cinq courbes sont recommandées sur cinq corps finis d'ordre p premier  , nommées P-192, P-224, P-256, P-384, P-521, dix courbes sur cinq corps finis de la forme   [6].

L'ANSSI recommande l'utilisation de la courbe FRP256v1, dont les paramètres ont été publiés au Journal Officiel[7] en 2011, et les courbes P-256, P-384, P-521, B-283, B-409 et B-571 définies dans le FIPS 186-2[8].

Notes et référencesModifier

  1. draft ANSI X9.62-1998
  2. http://nvlpubs.nist.gov/nistpubs/FIPS/NIST.FIPS.186-4.pdf
  3. BBC News Technology article sur la sécurisation de la PS3
  4. Engadget: valeur du nombre aléatoire k utilisé pour la signature des logiciels de la PS3.
  5. voir fonction deterministic_generate_kcode source ethereum en python
  6. FIPS PUB 186-4, Digital Signature Standard (DSS)
  7. Avis relatif aux paramètres de courbes elliptiques définis par l’État français, Journal officiel n°241 du 16/10/2011.
  8. Référentiel Général de Sécurité, Annexe B1, "Mécanismes cryptographiques Règles et recommandations concernant le choix et le dimensionnement des mécanismes cryptographiques".

AnnexesModifier

Articles connexesModifier

Liens externesModifier