Discussion:Inégalité de Cauchy-Schwarz

Commentaires de 2004-2005

L’inégalité de Cauchy-Schwarz : Soit n un entier supérieur ou égale à 1 ; ( x1, x2, x3,…) et (y1, y2, y3 …) deux suites de nombre réels. On considère le polynôme en t :

P(t) = (x1 + ty1)2 + (x2 + ty2)2 + ….. (xn + tyn)2

a/ Quel est le signe de P(t) ? Ordonnez ce polynôme par degrés decroissants de t.

b/ Deduisez-en l’inégalité de Cauchy-Schwarz :

(x1y1 + x2y2 +x3y3 + …. + xnyn)2 ≤ (x12 +x22 + x32 + … xn2) * (y12 +y22 +y32+ …. +yn2)

c/ Montrez que cette inegalité est une egalité si et seulement si les suites (x1, x2, x3,…) et (y1, y2, y3 …) sont proportionnelles.

Remarque : cet article n'a rien à faire dans la section analyse complexe. Il s'agit d'algèbre bilinéaire (cas réel) ou sesquilinéaire (cas complexe).

Autre démonstration

Je me demandais si une autre démonstration plus simple de cette inégalité pouvait être acceptée :

Deux vecteurs forment entre eux un angle alpha tel que le cosinus de cet angle soit égal à la division de la somme des produits des composantes par les normes des deux vecteurs.

$cos(\alpha )=(\sum xi*yi)/(norme(x)*norme(y))$.

(désolé je ne suis pas encore familier avec les signes de WP

Vu que -1 <= cos alpha <= 1 l'inégalité de Cauchy-Schwarz est triviale...

Voilà je vous demande votre avis sur cette démonstration !

Merci !

Ailethe 5 juillet 2006 à 12:43 (CEST)

oui mais il y a un cercle vicieux, tu as le droit de calculer $(\sum xi*yi)/(norme(x)*norme(y))$,mais avant de pouvoir l'écrire comme un cosinus il faut prouver que c'est inférieur à un en valeur absolue.

Le problème est que dans les « petites classes » on considère le cosinus comme connu au moment où on introduit le produit scalaire. Mais dans cet article, on part du produit scalaire comme un objet algébrique abstrait (forme bilinéaire symétrique définie positive), il faut donc prouver qu'on peut poser cos (α ) = ... Il faut bien regarder de quoi on part Peps 6 juillet 2006 à 18:37 (CEST)

Il n'est pas nécessaire de s'embarrasser avec un cosinus. L'inégalité triangulaire suffit, me semble-t-il.--Sveng 31 mai 2007 à 21:52 (CEST)

Démonstration fausse !!!

La démonstration, actuellement presentée, est fausse ! L'erreur est la suivante :

1) on a estimé $Re\langle x,y\rangle \leq |\langle x,y\rangle |$.

2) on veut dire que $P(X)$ est toujours non-négatif est donc son determinant non-positif. Mais la positivité de $P(X)$ est basée sur la positivité de

$Q(X)=\|x+X.y\|^{2}=\|y\|^{2}X^{2}+2Re\langle x,y\rangle X+\|x\|^{2}$,

et l'inégalité $Q(X)\geq P(X)\geq 0$ est valable seulement pour $X\geq 0$: on diminue le facteur devant X. D'autre côté, pour calculer le determinant de $P(X)$on l'applique au sommet $X_{0}=-|\langle x,y\rangle |/\|y\|^{2}$, qui est négatif.

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Victor Kleptsyn.

Merci, j'ai proposé une autre version de la preuve, que j'espère correcte (et, je dois avouer que j'ai séché, et que j'ai dû consulter le bouquin d'agreg de Gourdon). Salle 24 septembre 2007 à 10:24 (CEST)

Remaniements contestés

En réponse à un courrier (sur ma PdD) de Biajojo qui n'est pas d'accord mes modifs d'hier soir, et qui dit en substance : "Il serait préférable de modifier cette article en concertation, lorsqu'il s'agit de supprimer des preuves. Je ne pense pas que ces modifications rendent la démonstration plus claire. Le fait de se ramener à un couple de vecteurs normés dont le produit scalaire est positif cache la combinaison linéaire $||y||x+\varepsilon ||x||y$ alors que la démonstration précédente la rendait explicite, ce qui revient à peu prés au même. Mais dans ce cas, il faut se convaincre que montrer l'inégalité pour ce couple, c'est la montrer pour tous, ce qui est devenu implicite."

• Je n'ai pas "supprimé des preuves", mais seulement des répétitions (comme la première preuve dans Rⁿ, qui était exactement la même que dans le cas général ; j'ai toutefois pris soin de récupérer, et même améliorer, les liens internes qui s'y trouvaient).
• Je suis d'accord que la concertation est "préférable", mais autant lorsqu'il s'agit d'ajouter des preuves que d'en supprimer (sans quoi, les strates de contributions successives finissent par rendre l'article très décousu, comme c'était le cas)
• Je n'ai jamais lu nulle part qu'il "soit recommandé de publier le moins de fois possible", mais je suis du même avis, c'est pourquoi je m'efforce de grouper mes modifs dans une même édition de façon raisonnée, avec le commentaire de diff qui va avec, et qui pour moi tient lieu d'amorce de concertation si quelqu'un veut comprendre le but de la modif. Si j'ai fait beaucoup d'éditions hier, c'est (surtout) parce qu'il y avait beaucoup de tels "paquets raisonnés et expliqués". (Mais un censeur brutal peut très bien reverter toute la série en un seul clic, via l'historique)
• Bref, je pensais avoir bien amélioré le plan de cet article, en respectant toutes les contributions successives et simplement en les harmonisant. Une des raisons qui m'a fait choisir la rédaction qui te déplait est que dans un hermitien, les conventions (choix de laquelle des deux variables porte l'antilinéarité) diffèrent (même dans WP d'un article à l'autre, parfois même au sein d'un même article rédigé à plusieurs mains). Une autre est que j'ai voulu remplacer les formules compliquées par des formules largement plus lisibles (et montrer la parenté entre les diverses variantes). Mais je suis d'accord que du coup l'argument essentiel (commun à toutes les variantes, même celle que tu as supprimée) demande à être explicité (à ce propos : la fin de ta preuve, elle aussi, était trop expéditive pour moi).

Anne Bauval (d) 8 février 2010 à 13:22 (CET)

Voilà, c'est fait (trop long à mon goût, mais si ça peut être utile ...) j'espère en tous cas que ces "longueurs" ne vont pas maintenant servir de prétexte à (ce que je considèrerais comme) une régression. J'ai aussi remis la deuxième variante, ainsi que la formule qui introduit simultanément les trois. Toutes trois existent et ont leur intérêt, que j'ai comparé dans une note en bas de page (j'ai supprimé ma note car mon argument ne tenait pas vraiment : il suffirait de faire t=-1 et t=1 dans la première variante pour qu'elle donne, dans le cas réel, la même chose que les 2 autres). Anne Bauval (d) 8 février 2010 à 15:02 (CET)

Je suis tout à fait d'accord avec ta remarque sur la "stratification" des ajouts qui deservent l'article et c'est une bonne chose d'avoir raccourci tout ça. Par contre je pense que supprimer du contenu est plus sensible qu'en rajouter, et donc il me parait nécessaire de se concerter lors de suppressions d'une certaine importance . Je coris me souvenir que je l'ai lu quelque part cette histoire de pubilcations (dans les pages didactiques ?). Par contre je ne vois pas lm'intérêt des alternatives t=-1 et t=<x,y>. Un des choix suffit et présenter les deux n'approte rien (on a deja supposé <x,y> positif) --Biajojo (d) 9 février 2010 à 11:57 (CET)

Il y avait dans l'article 3 variantes (en comptant la tienne, que tu as placée en premier), et je me suis appliquée à ne supprimer aucune des 3. La troisième est incontournable car c'est la plus usitée. L'intérêt de la 2ème est qu'elle n'est qu'une reformulation de la 3ème sans parler de discriminant. Anne Bauval (d) 10 février 2010 à 01:07 (CET)

Bon, on s'est bien amusés tous deux à faire du "TI probablement sourçable", mais maintenant je suis d'accord que mon initiative de se ramener à des vecteurs unitaires dont le produit scalaire est positif n'est pas si heureuse, et finalement on peut s'en passer sans les 2 écueils dont je parlais plus haut. Je reviens à une rédaction plus orthodoxe (à partir des idées qui étaient déjà dans l'article mais en désordre), WP n'est pas le lieu pour innover. Pour le coup, cette fois, c'est vrai : il ne reste plus trace de ta contribution. Mais ton but (détrôner la preuve "classique et incontournable" au profit d'une preuve plus simple) semble atteint par une minuscule digression dans la preuve standard, donc sans innovation ni provocation. Anne Bauval (d) 11 février 2010 à 02:09 (CET)

Pourquoi ?--Biajojo (d) 16 février 2010 à 10:57 (CET)

J'ai donné plein de raisons. Que dois-je préciser ou ajouter ? Anne Bauval (d) 17 février 2010 à 12:39 (CET)

Ben je te le dis sincèrement et sans vouloir être désobligeant mais tu supprimes ma re-rédaction qui me plaisait assez pour en mettre une autre, alors je me suis dit ok, il doit y avoir une bonne raison pour ces choix de modifications et je m'y suis fait, puis maintenant tu remets tout comme avant sans qu'il n'y ait pratiquement plus rien de ma rédaction, du coup ça a du mal à passer ! Cette histoire de discriminant n'a aucun avantage particulier, c'est une astuce faisant appel à un outil purement analytique pour prouver quelque chose de géométrique et je ne vois pas pourquoi le fait qu'elle soit trés répandue nous oblige à la mettre en première place et effacer les preuves réellement géométriques ! --Biajojo (d) 18 février 2010 à 17:06 (CET)

Je comprends très bien que tu regrettes ta rédaction (moi aussi la mienne me plaisait), mais c'est ce que j'appelle du "TI probablement sourçable" et "WP n'est pas le lieu pour innover" (même à bon escient). Cet article a de bonnes chances d'être lu surtout par des "débutants" qui ne s'intéressent qu'au cas réel, c'est pourquoi je voudrais privilégier le procédé pour s'y ramener le plus tôt possible (déjà présent dans l'article avant que nous y touchions), et en plus ça évite de choisir de quel côté on met l'antilinéarité. Mais j'avais exagéré en voulant exploiter à fond cette remarque d'homogénéité, plutôt que de fournir, humblement et encyclopédiquement, en première place, la preuve "usuelle". Je voudrais parler quand même d'homogénéité (juste en remarque) parce qu'elle est le coeur des "preuves réellement géométriques". Moi aussi cette preuve "usuelle" par le discriminant me déplait. Mais l'antidote (qui dans le cas réel est équivalent à ta preuve) est fourni dans les "variantes directes". As-tu regardé la page anglaise correspondante ? c'est limpide, mais je crois qu'il vaut mieux une rédaction permettant d'accéder directement au cas réel sans s'occuper des complexes, et permettant à ceux qui ont appris la preuve par le discriminant de se rafraîchir la mémoire, avant d'apprécier ces variantes. Anne Bauval (d) 19 février 2010 à 00:15 (CET)

Bon ok. Mais... c'est quoi du "TI probablement sourçable" ? --Biajojo (d) 19 février 2010 à 14:31 (CET)

Vue ton ancienneté (sur WP !) ce n'est pas à toi que je vais apprendre que nous étions en train de faire des WP:Travaux inédits. Si je rajoutais "probablement sourçable" c'est qu'en cherchant bien, tout ça existait sûrement déjà (minoritairement) dans quelques sources. Anne Bauval (d) 19 février 2010 à 20:09 (CET)

bah tu sais, je viens pas tres souvent non plus, je ne suis pas un expert dans ce domaine, tu en connais probmt bcp plus que moi.--Biajojo (d) 21 février 2010 à 11:50 (CET)

Bonjour, je découvre les pages mathématiques, que du bonheur. Pour répondre à Anne Bauval qui a rejeté ma modification: au survol de l'article, on a évidemment oublié que y est non nul (mais on peut le rappeler??), de même que je n'avais pas lu que le produit scalaire était supposé réel, j'aurais modifié si je n'avais pas lu avant cette page de discussion. Il est clair que la méthode classique, pour être rigoureuse, demande de distinguer systématiquement les cas. Mais j'estime qu'en l'état cette page est trop "piège" pour ceux (puisque c'est de cela qu'il est question) qui veulent se rafraîchir les idées ... (quand ils ont vu le cas complexe, se rappellent une difficulté, et n'en trouvent pas trace ici). Asram (d) 26 février 2010 à 01:17 (CET)

Je ne connais pas Madame Anne Bauvall, dont je ne doute pas des qualités, mais je ne comprends pas l'argument objecté lors du deuxième revert par elle que je subis en si peu de temps. Que le discriminant réduit soit oublié par les professeurs, c'est leur choix, discutable. Mais si c'est inutile, il faut supprimer cette notion de l'article sur le discriminant, puisque le commentaire "plein d'étudiants" (genre, Wikipédia n'est pas là pour apprendre des choses, mais pour raviver des souvenirs?) laisse penser que la partie mathématique de Wikipédia est faite par des enseignants pour leurs étudiants?? Je comprends mieux le choix arbitraire de la démonstration de l'inégalité de C.S. Asram (d) 26 février 2010 à 02:24 (CET)

"deuxième revert en si peu de temps" par coïncidence : nous avons tous deux, dans le même temps, effectué plein d'autres edits. Tu as mis en caractères gras les hypothèses que tu n'avais pas lues : tu as sans doute raison car ça risque donc d'arriver à d'autres (j'avais eu aussi envie de le faire, puis renoncé à cause de Aide:typographie#Emphases : caractères gras et italiques). Mon commentaire de diff bâclé et (donc) extrapolé à outrance : j'essaye juste que cet article soit le plus accessible possible, et je crois que de moins en moins de gens connaissent le discriminant réduit (remplace "étudiants" par "jeunes générations" si ça te choque moins), et qu'on peut vraiment s'en passer ici (mais évidemment pas dans discriminant). J'avais interprété le point d'interrogation de ton propre diff comme un doute du même genre, et une invite à reverter si on n'était pas d'accord. Quant au "choix arbitraire", sincèrement je ne crois pas (cf arguments). Qu'est-ce qui est "trop piège", et de quelle "difficulté" faut-il parler pour ceux qui s'intéresseraient aussi au cas complexe ? Anne Bauval (d) 26 février 2010 à 04:08 (CET)

Ok, mes excuses si j'ai mal interprété les modifications. Peut-être faut il supprimer les caractères gras, mais je crois utile de souligner d'une manière ou d'une autre les hypothèses faites. Sur le discriminant réduit (comme sur le reste), tu peux reverter, mais il a l'avantage de donner directement la réponse? Pour ceux qui cherchent la démonstration dans le cas complexe (qui n'est pas piège, certes, mais l'idée ne vient pas si facilement, et l'allusion à l'homogénéité n'est pas si éclairante), pourquoi ne pas ajouter deux lignes? L'intérêt de la démonstration par le polynôme me semble être qu'il suffit d'avoir une forme quadratique positive, et pas nécessairement une norme préhilbertienne, qui ne sert que pour le cas d'égalité, alors qu'une démonstration "géométrique" , par le vocabulaire qu'elle emploie, fait plus explicitement référence à un contexte préhilbertien? Asram (d) 26 février 2010 à 14:37 (CET)

Excuses acceptées, maintenant que j'ai fini de digérer ce que j'ai ressenti comme une grosse agression.

• Pour "réduit", j'ai compris ta préférence, et je t'ai mieux expliqué la mienne. Puisque (à contre-coeur, j'ai bien compris) tu m'autorises maintenant à le reverter, j'y vais : pas la peine de faire peur à ceux qui connaissent pas juste pour éviter la laideur du 4.
• Pour le mot "homogénéité" que Biajojo vient d'enlever, j'y tiens : C.S. est vraiment un théorème homogène en un sens très géométrique, puisqu'il ne concerne pas vraiment les vecteurs mais seulement leur direction, et permet de définir l'angle.
• Je n'avais pas fait attention à ta dernière remarque, mais je me suis fait exactement la même réflexion cette nuit. Pourrais-tu, à l'occasion, ajouter ça dans l'article (et peut-être dans d'autres) ? Je n'ai trouvé sur WP que le sens "définie positive implique non dégénérée" .(Il faut hélas sourcer et je n'ai pas de livres là-dessus).

Anne Bauval (d) 27 février 2010 à 18:31 (CET)

Pour ce qui est du mot "homogène", j'ai rien contre à condition que tu cites une source pour justifier ce terme... S'agit-il juste de dire que les deux termes de l'inégalité sont des fonctions homogènes en les variables (des modules de polyn homogènes) ? Dans ce cas on peut peut-être aussi enlever les guillemets (car du coup le terme a un sens précis), voire la nécessité de sourcer.--Biajojo (d) 27 février 2010 à 19:05 (CET)

Bonjour, dans la mesure où la norme carrée est une forme quadratique, ça en fait une fonction homogène de degré deux dans le cas réel? Mais c'est peut-être malvenu puisqu'on veut multiplier par un complexe Asram (d) 27 février 2010 à 19:48 (CET)

Rectification: l'axiome utile porte bien le nom d'homogénéité, même pour une semi-norme.Asram (d) 27 février 2010 à 19:57 (CET)

Merci beaucoup à tous deux de vous pencher sur mon problème. Ce que vous dites est précis, et est bien sûr lié à mon "TI supprimé" sur le sens homogène au sens géométrique de C.S., mais je suis d'accord que tant qu'on n'a pas de sources sur ce "sens géométrique", mieux vaut ne pas en parler, et pour ce qui est de la démo elle-même l'ajout de Biajojo me semble parfait. Anne Bauval (d) 27 février 2010 à 20:31 (CET)

produit scalaire

Bonjour, à la lecture de différents articles, je vois des notations variées pour le produit scalaire. Existe-t-il une norme wikipédienne, ou l'on fait ce qu'on veut?

Asram (d) 26 février 2010 à 02:48 (CET)

Je sais pas si c vraiment grave si on se donne la peine de rappeler au début de l'article la notation que l'on va employer. J'ai qd même fait une proposition sur la page de discussion de Produit scalaire.--Biajojo (d) 26 février 2010 à 15:16 (CET)

Il y a aussi ce pb récurrent que (sur WP comme ailleurs) sur C, le produit scalaire est linéaire à gauche et antilinéaire à droite pour certains auteurs (dans la variante il faudrait le dire), et l'inverse pour d'autres. Anne Bauval (d) 27 février 2010 à 19:13 (CET)

Les programmes les plus récents d'enseignement mettent la linéarité par rapport à la variable de droite, et parlent de semi-linéarité par rapport à la variable de gauche. C'est une convention, j'imagine. Asram (d) 27 février 2010 à 19:53 (CET)

Tentative d'inventaire (sous réserves). Dans la présente variante la linéarité est à gauche, de même que dans espace hermitien et espace préhilbertien. Elle est à droite dans Inégalité de Cauchy-Schwarz#Conséquences, hermitien, produit scalaire, forme sesquilinéaire. Elle est tantôt l'un tantôt l'autre dans Espace de Hilbert#Exemples. Il y a une remarque là-dessus dans Produit scalaire#Produit scalaire hermitien et dans Forme sesquilinéaire#Définitions et conventions. Anne Bauval (d) 27 février 2010 à 20:55 (CET)

Elle est à droite, dans projection orthogonale. C'est vrai que c'est un peu le bordel, ce portail Asram (d) 27 février 2010 à 21:31 (CET)

Au fait, d'où vient cet antilinéaire dont je n'avais jamais entendu parler? Je connais semi-linéaire, et comme 1 + 1/2 = sesqui [1], c'est pour ça que la forme est sesquilinéaire, non ? Asram (d) 27 février 2010 à 23:16 (CET)

Le terme usuel en mathématiques est semi-linéaire, j'ai corrigé l'article sur les formes sesquilinéaires. L'expression « antilinéaire » venait de la personne qui a traduit l'article en anglais.--Cbigorgne (d) 27 février 2010 à 23:37 (CET)

Je lis "antilinéaire" dans Eléments d'analyse fonctionnelle, cours et exercices, de Francis Hirsch et Gilles Lacombe, Coll. Enseignement des Math., Masson, 1997, page 84. Je ne conteste ni l'un ni l'autre. Mais si on corrige, faudrait peut-être le faire partout ? (cf inventaire ci-dessus) Anne Bauval (d) 28 février 2010 à 00:00 (CET)

J'ai fait mes vérifications dans Bourbaki, Ramis-Deschamp-Odoux.--Cbigorgne (d) 28 février 2010 à 00:12 (CET)

J'ai corrigé l'article espace hermitien en conséquence. Le livre de René Deheuvels (Formes quadratiques et groupes classiques) utilise antilinéaire et antilinéarité.--Cbigorgne (d) 28 février 2010 à 00:26 (CET)

Le terme antilinéaire est je crois réservé au cas de la conjugaison complexe. Le terme d'application semi-linéaire est plus général et relatif à un morphisme d'anneau ou de corps : une application semi-linéaire vérifie u(ax)=r(a)u(x). Pour les applications sesquilinéaires, si on veut être précis, il faudrait parler d'applications sesquilinéaires à droites et d'applications sesquilinéaires à gauche.--Cbigorgne (d) 28 février 2010 à 01:02 (CET)

Je sens que je vais retourner cultiver mon jardin si ce portail ne peut pas clarifier ce genre de problèmes . Asram (d) 28 février 2010 à 01:14 (CET)

Plus je lis de pages, plus je vois l'anarchie, et j'y contribue en postant dans mon coin (mais l'article était en mourrance, lol). Je bosse habituellement sur un portail structuré et un autre conflictuel donc mort, mais là, on peut écrire tout et n'importe quoi, ça passe . Les maths, c pas sérieux :) Asram (d) 28 février 2010 à 03:14 (CET)

Je suggère qu'on prenne quelque initiative (après concertation). Qu'en dites-vous ?--Biajojo (d) 1 mars 2010 à 08:32 (CET)

Je veux dire :

* on utilise "antilinéaire", "sesquilinéaire", "semi-linéaire" ?

* l'antilinéarité (que j'appelle comme ça...) est à droite ou a gche ?

* notations : crochets-virgules ($\langle ,\rangle$) ? crochets-césure ($\langle |\rangle$) ? parenthèse-césure ? point $\cdot$ ? etc.

On peut varier et spécifier dans quel contexte on utilise l'un plutot que l'autre (exemple:Discussion:Produit scalaire#notation du ps).

Le but étant de se rallier au plus courant et donc de savoir ce qui est le plus courant.--Biajojo (d) 1 mars 2010 à 08:47 (CET)

Moi aussi, au début, je souhaitais ardemment ces uniformisations (quels que soient les choix), surtout pour gauche-droite (c'est fatigant de changer de réflexes à chaque fois, surtout qu'il faut d'abord identifier la convention choisie). Pour la notation c'est moins gênant, et je suis d'accord avec toi. Pour le vocabulaire, Cbigorgne est en train (après avoir vérifié dans ses bibles) de faire un travail de fourmi très utile sur tous les articles : semi-linéaire, avec précision droite/gauche à chaque fois. Je crois qu'on peut difficilement faire mieux (et je le regrette) : les 2 côtés semblent autant utilisés, même par les mêmes gens, je crains qu'il faille se contenter de respecter la convention de chaque article (ou l'y uniformiser si elle ne l'est plus). Anne Bauval (d) 1 mars 2010 à 10:07 (CET)

note pour explication de la variante

J'ai ressourcé l'explication comme ça on voit que c'est pas moi qui l'ai inventé cette explication. C'est vrai que la note a l'air d'un exposant, ms de couleur différente et totalemt inatendu dans le contexte. Je crois pas que ça gène.--Biajojo (d) 27 février 2010 à 15:55 (CET)

Pourquoi ne pas mettre la note sur le mot démonstration ou sur en fait, on comprendra bien que c'est à cela qu'elle fait référence? Ou bien remplacer y par le deuxième vecteur (personne ne viendra chipoter pour savoir s'ils sont distincts)? Ceci dit, je n'avais pas tort en parlant du procédé de Schmidt, puisque c'est de cela qu'il s'agit, appliqué à la famille (x,y) quand elle est libre (et l'on a l'inégalité stricte), le cas où la famille est liée étant le (seul) cas d'égalité. Mais c'est juste pour causer . Asram (d) 27 février 2010 à 17:00 (CET)

L'histoire de la note a été réglée. Le procédé de Gramm-Schmidt consiste (entrautres) en soustraire au vecteur suivant sa projection sur l'ev eng par la partie déjà orthonormalisée de la base, ce qui fait que tu n'as pas tout à fait tort mais que l'interprétation de la projection est plus élémentaire. En outre, c'est celle présentée dans la source. --Biajojo (d) 27 février 2010 à 19:10 (CET)

C clair, d'ailleurs une bonne explication pédagogique de Schmidt est de dire qu'on enlève au vecteur son projeté orthogonal, c'est limpide sur un dessin. Asram (d) 28 février 2010 à 03:15 (CET)

application

on peut l'utiliser pour démontrer que le coefficient de corrélation de deux séries statistiques est toujours compris entre -1 et 1.Claudeh5 (d) 2 mars 2010 à 00:48 (CET)

Ben dans ce cas il suffit peut-être d'ajouter une section "quelques applications" avec des liens vers des pages wp où on applique cs ou alors avec une explication de celles qui n'apparaissent pas ailleurs, comme peut-être celle que tu proposes ?--Biajojo (d) 2 mars 2010 à 09:34 (CET)

L'idée est pertinente; je me souviens avoir lu un article sur l'analyse en composantes principales qui mettait en valeur CS, mais je ne l'ai pas retrouvé. Peut-être utiliser cette page (proposition 5.5)? ou modifier l'article corrélation pour y glisser le théorème? Asram (d) 8 mars 2010 à 19:22 (CET)

Je reviens sur les applications. Sauf erreur, celles proposées utilisent plutôt (hormis la première) une forme quadratique seulement positive? Est-ce que c'est gênant si la généralisation suit ces applications ?

J'ai sinon trouvé une référence pour le fait que le coefficient de corrélation de deux variables aléatoires soit un réel entre -1 et +1 comme conséquence de CS. Mais du coup je ne sais pas où placer cette application (plus simple que les susdites). Comme il flotte un air de recherche de consensus, je ne fais rien sans réponse. Asram (d) 9 mars 2010 à 01:08 (CET)

forme quadra seulement positive pour les appli : à première vue non (mais même si c'est le cas, pas gênant je pense). Pour le reste (y compris la citation de Kirillov), tout ça est "minime" (au sens "non-conflictuel", bien sûr pas au sens "négligeable"), fais comme tu l'entends sans passer par la PdD : amha un commentaire de diff suffit. Merci de t'en occuper, ça fait un souci en moins. Anne Bauval (d) 9 mars 2010 à 20:12 (CET)

Bon, j'ai essayé de poster un truc; merci de ne pas m'incendier (mes cours de probas sont sous les cendres de Montserrat, lol). On peut demander une relecture par des probabilistes? Asram (d) 10 mars 2010 à 01:46 (CET)

Bonjour, Il y a une application proposée au conditionnel. Où trouver des sources? Asram (d) 10 mars 2010 à 11:07 (CET)

voilà

je m'engage à prendre des vacances et à ne pas revenir sur cette page avant un certain temps. Amusez-vous bien ! --Biajojo (d) 2 mars 2010 à 10:31 (CET)

Tu as fait de grosses modifs depuis cet "engagement" ! J'ai bien réfléchi avant d'y réagir. Voilà comment, à mon avis, on pourrait améliorer encore :

1. Tu as décidé de créer un dernier paragraphe "Généralisations" et d'y déplacer le théorème 2 et son corollaire, que j'avais mis dans le premier paragraphe "Enoncés". Ça m'a choquée mais finalement, pourquoi pas (ça simplifie le plan des démonstrations). Je te propose alors d'enlever le s à "Enoncés", et aussi à "Généralisations", et de mentionner tout de même (en petit, juste dans la note 7) que dans Godement, l'inégalité de Cauchy-Schwarz, c'est juste le théorème 2 (il ne mentionne même pas le théorème 1 !). Ça modère un peu l'intitulé "généralisation", qui me semble tout de même légitime. Pour être honnête il faudrait aussi préciser la phrase sur la démo (on ne peut évidemment plus invoquer Pythagore), en disant plutôt quelque chose comme "la preuve algébrique du théorème 1, complétée par un petit argument ...".
2. Tu as supprimé le paragraphe sur l'identité de Lagrange (rédigé par Oxyde en décembre 2007, et que j'avais "mis en forme" le 7/2/10), en l'amalgamant dans ta variante par Pythagore. Je ne comprends pas du tout comment tu déduis l'un de l'autre. Je ne vois que deux égalités, qu'on démontre rapidement et séparément, et dont on constate a posteriori que deux des trois termes sont identiques, donc du coup le troisième aussi. Je ne vois pas comment un calcul plus simple permettrait de passer directement de l'une à l'autre. J'en viens à penser
   1. qu'il faudrait remettre la démo de l'identité de Lagrange dans Rⁿ, ou (peut-être préférable, bien qu'elle soit très courte) la recycler dans un autre article (mais problème : où ? WP français n'a pas la richesse de WP anglais, et je n'ai pas le courage de créer une page)
   2. que la démo de CS dans Rⁿ qui l'utilise mérite un sous-paragraphe supplémentaire indépendant (très court) dans le paragraphe "Démonstrations".
3. Le 4.1 fait bizarre dans le sommaire. Si on garde le théorème 2+corollaire à la fin, à mon avis on peut quand même remettre CS pour L² dans "Conséquences", juste après CS pour Rⁿ (ça parait naturel, et c'était comme ça avant nos multiples interventions), quitte à juste dire, après le théorème 2, que c'est vrai aussi dans ${\mathcal {L}}^{2}$ (ou même ne rien dire du tout).
4. La deuxième phrase de "autres applications" est, je pense, incompréhensible au profane. Je vais essayer de la reformuler, mais je me demande si elle ne serait pas plus à sa place un peu plus haut (quand on parle de la continuité du produit scalaire).

Anne Bauval (d) 7 mars 2010 à 23:27 (CET)

J'ai pas pu résister. 1er point d'ac. Pour "lagrange" et Rn, fais comme tu le penses, j'ai peut-être eu tort. Je vois pas en quoi le 4.1 fait bizarre. Mais oui pour Rn et L2 dans conséq, pourquoi pas. "autres applis" tu as corrigé toi-même.--Biajojo (d) 8 mars 2010 à 09:29 (CET)

Le seul point vraiment problématique est donc Lagrange.

Tu sembles reconnaître tacitement que "cette variante peut être vue comme une application de l'identité de Lagrange" et "En effet, un calcul direct permet de voir que l'identité de Lagrange n'est autre que l'identité du théorème de Pythagore appliquée précédemment" était du bluff.

Ta suppression m'a tout de même fait réfléchir sur la pertinence d'une telle démo dans l'article même. Mais comme c'est trop de boulot de la mettre ailleurs, je vais la remettre ici, en attendant mieux.

Anne Bauval (d) 8 mars 2010 à 13:03 (CET)

la citation de Kirillov

merci Asram ! dommage qu'il dise "sans changer de valeur absolue" pour "sans changer de module" (lapsus ? erreur de traduction ? convention de langage différente ?) Anne Bauval (d) 8 mars 2010 à 00:26 (CET)

Merci . La phrase n'est pas fautive: l'article valeur absolue donne comme exemple le module dans $\mathbb {C}$, les termes sont finalement interchangeables, et cela évite une répétition dans la traduction, peut-être . Il faudrait d'ailleurs wikilier ces termes. Asram (d) 8 mars 2010 à 00:59 (CET)

Je vais wikilier. Je me suis plié à la loi des références, que je ne trouvais pas si utile sur des rubriques mathématiques, mais je sens que tu veux faire de cet article un AdQ ;) Asram (d) 8 mars 2010 à 01:08 (CET)

Je trouve que mettre une citation texto pour ça est un peu excessif... --Biajojo (d) 8 mars 2010 à 09:31 (CET)

rep sur "AdQ": hihi ! et moi, j'ai pouffé en voyant ça. Cela dit, nos efforts communs pour améliorer cet article visité 100 fois par jour n'ont rien de dérisoire.

rep sur "un peu excessif" : un peu d'accord mais pourquoi s'en priver, puisque ça dit la même chose ... sauf que ma formulation avec le mot (non sourcé) "homogénéité" se voulait une remarque de portée plus générale qu'une astuce de démonstration. Anne Bauval (d) 8 mars 2010 à 12:42 (CET)

Je trouve aussi que c'est excessif :) Mais il semble que ce soit la norme, si j'ose dire. Comme la formulation précédente avait été sujet à discussion, j'ai proposé ça. On peut enlever le fait que ce soit une citation, mais la discussion précédente va resurgir. Asram (d) 8 mars 2010 à 13:24 (CET)

Ben quoi, il est bien l'article, mais j'ai pas trouvé de grade intermédiaire alors je suis revenu à comme avant.--Biajojo (d) 8 mars 2010 à 15:40 (CET)

On pourrait enlever les guillemets, ce qui autorise à remplacer valeur absolue par module, mais laisser quand même la référence? Asram (d) 8 mars 2010 à 17:23 (CET)

verbe

Je ne comprends pas pourquoi remplacer "enseignée" par "diffuser". Enseigner, c'est bien ce qu'on fait en général, on enseigne la dém de CS. Diffuser signifie répandre (ou alors diffuser sur les ondes...), on (= ceux qui la racontent) ne cherche pas spécialement à répandre la dém de CS si ce n'est quand on l'enseigne. Donc "enseignée" est bien le terme précis et je ne vois pas où est le problème.--Biajojo (d) 8 mars 2010 à 09:39 (CET)

j'avais remarqué aussi cette modif, mais je m'étais bien gardée d'y toucher. Sans vérifier l'historique, j'avais cru qu'elle était de toi, et m'étais efforcée de la comprendre : "diffuser" est plus général. Cauchy-Schwarz est sur internet et dans les bouquins, que pas seulement élèves ou étudiants consultent, mais aussi des profs, ou des quidams curieux. Anne Bauval (d) 8 mars 2010 à 12:22 (CET)

Voilà, c'était le sens de ma modification. Dans le Kirillov, dont le premier chapitre est "catégories et foncteurs", je ne pense pas qu'on cherche à enseigner CS. Si l'on veut ergoter, on n'a pas de stats sur ce que font les profs comme démo. de CS. En revanche, on peut être d'accord sur le fait que c'est la démo que l'on trouve dans la majorité des livres. Ceci dit, diffusée est sans doute malheureux :o. Pourquoi pas répandue (je ne verserai pas de larme si on revient à enseignée)? ou la plus communément fournie? ou ???Asram (d) 8 mars 2010 à 13:29 (CET)

La plus communément proposée ? Asram (d) 8 mars 2010 à 13:54 (CET)

proposé c'est très bien.--Biajojo (d) 8 mars 2010 à 15:38 (CET)

Affaiblissement des hypothèses du théorème

D'après le El Hage Hassan (référence ci-dessous), il est possible d'affaiblir les hypothèses de ce théorème, et donc de le généraliser un petit peu. Il n'est pas nécessaire d'avoir un produit scalaire, une forme hermitienne phi(.|.) positive sur un K-espace vectoriel suffit.

Le théorème affirme alors que |phi(x,y)|^2 <= phi(x,x) phi(y,y).

On a en plus le résultat suivant : une forme hermitienne positive est définie si et seulement si pour tout x de E non nul, phi(x,x)>0

Je ne modifie pas la page, mais je pense qu'il serait intéressant d'ajouter le théorème et sa démonstration.

Source : Nawfal El Hage Hassan, "Topologie des espaces normés", Dunod, (ISBN 978-2-10-056725-6) --Cantor est devenu fou (discuter) 4 mars 2018 à 01:01 (CET)

Bonjour, l'affaiblissement des hypothèses du théorème est déjà mentionné dans le paragraphe Généralisation. Cordialement.-- Cbigorgne (discuter) 4 mars 2018 à 01:16 (CET)

En effet, merci bien pour votre réponse.--Cantor est devenu fou (discuter) 4 mars 2018 à 01:56 (CET)