Discussion:Conique

J'ai remplacé défintion par propriété.

En effet, la définition d'une conique se fait (et s'est faite historiquement) à partir du cône. Le fait qu'il y ait relation entre les distances à deux foyers des courbes ainsi définies me semble donc plutôt une propriété.

Il y a en réalité deux définitions de la conique, la définition focale et celle de section conique. Il existe un théorème liant ces deux définitions, qui est le théorème belge de Dandelin. J'effectue en ce moment une recherche assez poussée sur ce sujet. Je viendrai en déposer la synthèse une fois qu'il sera fini. Guillaume 11 fév 2004 à 15:33 (CET)

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J'y connais pas grand chose en math (donc je ne modifie pas la page), mais dans

   * e = 0 un cercle
   * e < 1 une ellipse
   * e = 0 une parabole
   * e > 1 une hyperbole 

, la parabole ne serait-elle pas définie par e = 1? Ou alors, ce n'est pas clair, parce que la valeur de e n'explique pas toutes les formes de coniques, comme indiqué plus haut. Arnaudus 1 mar 2004 à 23:42 (CET)

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Si on remplace e=0 dans la définition de la conique on obtient un point comme solution et non un cercle. Si on résout l'équation de la conique avec e=0 on obtient l'équation d'un cercle avec un rayon negatif. QUID ??

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À travailler

Je travaille à améliorer cet article, mais toutes les bonnes volontés sont les bienvenues.

Reste à faire :

• définition analytique (par une équation du type $ax^{2}+by^{2}+2cxy+dx+ey+f=0$) ;
• définition bifocale
• exemple de théorèmes célèbres, de problèmes, etc. concernant les coniques
• équations paramètriques

--Alcandre 23 septembre 2005 à 17:25 (CEST)

Une suggestion : peut-être serait-il bon de mentionner Apollonius, soit dit juste en passant... Si quelqu'un a le temps de se pencher là-dessus. Merci déjà pour le travail réalisé.

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"quand le plan contient l'axe du cône l'intersection est un couple de droites sécantes" c'est vrai mais ce n'est pas le seul cas qui donne deux droite, en fait c'est le cas pour tout plan qui passe par le sommet et qui est qui a un angle d'inclinaison par rapport à l'axe inférieur à celui du cone.

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"l'intersection est une hyperbole équilatère quand l'angle d'inclinaison du plan est inférieur de 45° à l'angle d'ouverture du cône" C'est en réalité le cas lorsque le rapport du cosinus de l'angle d'ouverture du cône et de celui de l'angle d'inclinaison du plan vaut $sqrt(2)$ Si alpha est l'angle d'ouverture du cône et phi l'angle d'inclinaison du plan cela revient à : $sqrt(2).cos(alpha)=cos(phi)$ ce qui est le cas si alpha = 45° et phi = 0 mais aussi si alpha = 60° et phi = 45°

Définition pour une physicienne étudiant le mouvement keplerien

je conçois très bien tout ce qui vient d'être dit.

Néanmoins en secondaire, quand je dois traiter les lois de Kepler, leur démonstration ( lois de Kepler, démonstration ), et le mouvement keplerien , je préfère utiliser la méthode suivante ( rien de très original !) , mais qui va doit au but pour moi.

Nos besoins sont différents , je le conçois bien ! Wikialement sylvie --Guerinsylvie 28 février 2006 à 10:28 (CET)

Soit un trièdre orthonormé Ox,y,z. On trace Oz vertical et Ox horizontal à DROITE, donc Oy vers le tableau.

Soit le demi-cône de révolution d'axe Oz de directrice z = x , d'équation z := sqrt( x²+ y²).

Soit le point F de coordonnées (0, 0, p).

La section plane du cône par z = p définit la conique, sqrt( x² + y²) = p : on reconnaît la définition du cercle de centre F, de rayon p : FM = sqrt( x² + y²) = p.

Incliner cette section plane légèrement (négativement, sans restreindre la généralité du problème), en coupant donc par le plan z := p - e.x ( e < 1 ) : on obtient une conique appelée ellipse , dont l'équation polaire est :

sqrt( x² + y²) = p - e x  ou r = p - r.cos$\theta$ 

ce qui définit l'équation polaire d'une ellipse de paramètre p , d'excentricité e , d'origine des angles polaire au péricentre P , avec FP = p/(1+e) = a-c , et d'apocentre FA = p/(1-e) = a-c . Le petit axe b vaut sqrt( a²-c²). Le paramètre p = b²/a .

Le théorème de Dandelin finit éventuellement cette présentation rapide ( car l'ellipse comme courbe du jardinier est importante aussi en physique.

Changer (p,e) en (p',e') démontre que l'ellipse va posséder des propriétés projectives.

Pour Kepler-Newton, c'est ESSENTIELLEMENT ce dont j'ai besoin.

Par contre pour le problème de Hooke, je préfère une définition affine de l'ellipse , car l'équation F = m.a est linéaire.

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coniques dégénérées, structure de l'article

Je ne connaissais pas cette notion de conique "partiellement dégénérée" ? D'où vient-elle ? La définition usuelle de conique dégénérée correspond me semble-t-il exactement à celle de forme quadratique dégénérée en projectif. les cercles (ellipses) et les hyperboles, (équilatères ou non), sont alors des coniques propres. Le dessin qui qualifie le cercle de conique dégénérée ne me semble de toute façon pas correct (et il oublie les droites doubles, tangentes au cône). C'est dommage car ce dessin est très lisible par ailleurs.

Sinon il y a un problème de structure de l'article, la section "cas affine" donne une réduction euclidienne, on revient au cas affine par les barycentres, les études en projectif, affine, et euclidien devraient être clairement séparées ou au moins mieux identifiées. Proz (d) 8 mai 2008 à 15:40 (CEST)

Propostion de corrections ; petits détails : "droite" / "directrice"

"Dans un plan (p), on considère une droite (d) et un point F non situé sur (d). Soit e un réel strictement positif.

On appelle conique de droite directrice (d), de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan (p) vérifiant :"

Sur le schéma en vis-à-vis du texte, "la droite (d)" est notée avec une majuscule, alors qu'elle est désignée par des minuscules dans le texte :/ En fait, je m'étonne de l'appellation elle-même de "droite directrice", alors qu'il ne me semble pas s'agir que d'une droite, mais de "courbes directrices", dont la droite est un cas particulier. A moins que ce qui voulait être exprimé c'est : 'On appelle conique d'une droite droite directrice (d), de foyer F et d'excentricité e l'ensemble des points M du plan (p) vérifiant :' Qu'en pensez-vous ? bien cordialement. Didier Raphaël Desbordes (d) 12 juin 2008 à 20:27 (CEST)

Paramètre d'une conique

Les dernières hésitations [1] de SectionFinale (d · c · b) montrent bien le danger qu'il y a à choisir une lettre non standart dans un développement. Le paramètre d'une conique s'appelle en général p il est le produit de l'excentricité par la distance entre le foyer et la directrice. Pour éviter toute erreur de lecture, il me semble préférable d'appeler h la distance entre foyer et directrice, et de réserver la lettre p au paramètre. Je modifie en conséquence la section Conique#Mise en équation. HB (d) 12 avril 2011 à 16:07 (CEST)

Equation polaire d'une conique

Il faudrait intégrer dans l'article l'équation polaire d'une conique. rho= p /(1+e cos(theta) )

Classification selon le discriminant

Je suis peu à l'aise dans ce domaine mais j'ai déjà repéré et corrigé deux erreurs. J'aimerais donc une bonne référence pour la suite, en particulier pour l'utilisation du déterminant d'ordre 3. D'autre part, j'avoue ne pas apprécier de voir la réunion deux droites parallèles qualifiée de parabole. Les classifications que je vois dans la littérature ne se font que sur le discriminant, et distinguent les cas pathologique des autres : si B²-4AC est strictement négatif la conique est l'ensemble vide, un point ou une ellipse, si cette expression est nulle, la conique est l'ensemble vide, la réunion de deux droites parallèles (au sens large) ou une parabole, si l'expression est positive la conique est la réunion de deux droites sécantes ou une hyperbole. Enfin, je ne me souviens pas avoir entendu parler d'ellipse complexe pour parler de solution de a²x² + b²y² + c²=0, il ne me semble pas judicieux d'innover dans ce domaine ou d'utiliser un vocabulaire non standard. HB (d) 20 décembre 2012 à 16:51 (CET)

Question subsidiaire : l'équation de la conique est souvent donnée sous la forme AX² + 2BXY + CY² + 2DX+ 2EY + F = 0; Il faudrait peut-être réfléchir à l'avantage d'une telle formulation qui éviterait des erreurs comme celles sur le discriminant? HB (d) 20 décembre 2012 à 16:51 (CET)

pour le déterminant 3x3 non nul : c'est la non dégénérescence de la forme quadratique associée à l'équation homogénéisée, donc conséquence de la définition de quadrique propre (cette forme quadratique est non dégénérée) dans Audin p 223, ce n'est peut-être pas le genre de ref. que tu cherches ... Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 16:39 (CET)

Oui, c'est une bonne source à mon avis. Ce que je reproche à la section sur la quadrique c'est

• l'impression de doublons (équation, forme matricielle, forme réduite)

ok, en fait ça s'éclaicirait en traitant d'abord la classification affine (transformations affines, on ne se préoccupe pas d'orthogonalité, la réduction de Gauss suffit), puis la classification euclidienne, qui demande des transformation orthogonales, ce qui a peut-être été l'idée du rédacteur initial, mais c'est obscur, il est question d'hyperbole équilatère dans la première classification par ex. ce qui n'est pas affine.

• l'absence de source donc merci si tu peux mettre la source Audin sur le déterminant d'ordre 3

Audin ne parle pas de déterminant, (peut-être en exercice) même si ça revient au même, je vois la ref. Lasley sur en:Degenerate conic,

• le choix de notations que je ne retrouve nulle part ailleurs (sur Tauvel, Lelong-Ferrand, l'encyclopédie Didier...) l'équation est mise sous forme AX² + 2BXY + CY² + 2DX+ 2EY + F = 0

ok oui c'est vrai que c'est souvent sous cette forme

• la distinction choisie dans l'article entre coniques propres et coniques non correction erreur dégénérées qui se trouve en contradiction avec les sources classiques : Lelong-Ferrand et Tauvel classent les coniques en propres (au moins deux points et pas de droite) et les dégénérées (ensemble vide, un point, ensemble de droites).

tu veux dire en "propres" et "dégénérées" ? x²+y²+1 = 0 serait dégénérée dans Lelong-Ferrand et Tauvel ? Je ne comprends probablement pas ce que tu veux dire.

oui,erreur de ma part, coniques propres et coniques dégénérées. Tauvel ne parle pas de coniques dégénérées mais définit les coniques propres comme les coniques contenant au moins deux points et ne contenant pas de droite. LFA écrit que l'ensemble n'est pas une conique proprement dite quand il est vide, réduit à un point ou à une ou deux droites, et que dans ce cas, il s'agit d'une conique dégénérée alors oui, selon eux x² + y² +1=0 n'est pas l'équation d'une conique propre alors que notre article la range dans les coniques propres.

(c'est quel bouquin de Tauvel ?), j'ai vérifié dans Ladegaillerie (ref. sur espace affine), c'est bien cette définition de propre/non dégénéré, et c'est celle aussi de Audin, Ladegaillerie, ça me semble quand même devenu assez standard d'aligner au maximum sur la classification des formes quadratiques, LFA n'est pas tout jeune, probablement Tauvel contourne-t-il la chose pour ne parler que de "coniques réelles" et dire des choses qui sont justes restreintes à ce cas.

Tauvel - Géométrie (agrégation, second cycle, Master) - Dunod, 2005, isbn 2100494139. Cependant, LFA n'est pas tout jeune (merci de me le faire remarquer...) et Tauvel est (presque) contradictoire : en effet il consacre tout un chapitre (le chapitre 16 p. 233 et suivantes) à ce qu'il appelle les notions de coniques projectives et il y distingue les coniques (appartenant à l'espace projectif des formes quadratiques sur un espace vectoriel E de dim 3) et leurs images (ensemble des point du plan projectif associés aux vecteurs qui annulent la forme quadratique). Dans ce cadre, il appelle conique non dégénérée, les coniques projectives associées à des formes quadratiques de rang 3 MAIS il distingue nettement la conique de son image et indique que si deux formes quadratiques non dégénérées sont anisotropres elle peuvent correspondre à des coniques différentes ayant même image. Ensuite, p.412, il travaille spécifiquement sur les coniques euclidiennes et élimine l'ensemble vide des coniques propres. On est bon alors pour une note de bas de page expliquant le statut non universel attribué à l'ensemble vide.HB (discuter) 7 janvier 2014 à 08:23 (CET)

• Quant à la classification, dans aucune de mes sources (mais je n'ai pas Audin) je n'ai trouvé une classification synthétique avec la quadrique générale. J'en trouve plusieurs sur l'équation réduite AX² + CY² + 2DX+ 2EY + F = 0, dont une sous forme de tableau dans l'encyclopédie Didier qui peut encore se résumer à l'étude de signe de AC (déterminant de la forme quadratique) et de celui de N=D²C+E²A -ACF

Pour N : c'est juste le cas particulier où B = 0 (au signe près), ça revient au même via des transformations affines ou orthogonales suivant de quelle classification tu parles.

• • pour AC nul , si N est non nul c'est une parabole, si N est nul il s'agit de deux droites parallèles éventuellement confondues
  • Pour AC négatif, si N est non nul c'est une hyperbole et si N est nul c'est un couple de droites sécantes
  • Pour AC positif, si N est du même signe que A et C c'est une ellipse, si N est de signe contraire c'est l'ensemble vide, si N est nul c'est un point.

Pour toutes ces raisons, je suis convaincue qu'il faut nettoyer et sourcer la classification. Je préfèrerais que cela soit entrepris par quelqu'un qui a le recul suffisant pour éviter de faire patauger le lecteur mais si rien n'est entrepris, il faudra bien que je me résolve à effectuer une correction laborieuse. HB (discuter) 6 janvier 2014 à 18:14 (CET)

Forcément si tu reprends en sourçant ça sera un progrès. Pour moi deux classifications sont à traiter : l'affine , et l'euclidienne, la partie "forme matricielle" actuelle est bien un doublon, il n'y a pas à différencier par la méthode utilisée mais par le type de classification, et il faut parler de transformations. Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 20:31 (CET)

J'ai quand même l'impression de courir à 10 km derrière toi : dans mes deux sources, on se place d'emblée dans un espace euclidien, même si l'équation de départ est donnée, pour LFA, dans un repère quelconque, on la réduit en utilisant un repère orthonormal. HB (discuter) 6 janvier 2014 à 21:38 (CET)

C'est bien dommage qu'ils ne traitent pas la classification affine, Ladegaillerie le fait proprement, c'est essentiellement une application de la diagonalisation des formes quadratiques. Je pourrai reprendre à partir de la section actuelle "classification selon le discriminant" renommée en classification affine (mais ça prend plus de temps que de bavarder en pdd). Proz (discuter) 7 janvier 2014 à 01:19 (CET)

Bon, je cours encore mais me rapproche un peu. En fait, la partie définition analytique est un fourre qui ne favorise pas la prise de recul. D'après ce que j'ai cru comprendre, en relisant mes sources et en en cherchant d'autres, il existerait plusieurs problématiques

• (a) rechercher le bon repère orthonormé dans lequel la conique a la forme la plus sympathique, connaissant son équation dans un repère quelconque (pas nécessairement orthonormé chez LFA, orthonormé dans le J'intègre de Ramis) Je pense que cette problématique, très liée à l'euclidien, est traitée dans équation réduite, avec quelques lourdeurs (en particulier, je ne vois pas l'intérêt de changer de repère via une symétrie orthogonale....). C'est comme un mode d'emploi à suivre et au cours de ce cheminement, on est amené à rencontrer tous les types de coniques mais cette problématique est également traitée dans la partie matricielle qui redit la même chose avec des mots plus savants et de manière incomplète.
• (b) rechercher les orbites de ces coniques relatives à des transformations
  • (b1) pour les transformations affines, on obtient la classification affine en 8 types : les coniques se ramenant à x²+y²=1 (ellipse) x²-y²=1 (hyperbole), y=x² (parabole), y=+/- x (deux droites sécantes), y=+/-1 (deux droites parallèles), y=0 (une droite), un point, l'ensemble vide l'affectation des équations aux types de coniques est un TI personnel , Audin ou Ladegaillerie doivent probablement le faire plus proprement. Comme on retrouve les mêmes types que lors de la réduction cela fait un doublon apparent; Cette classification se fait sans chercher de réduction en observant le déterminant 2*2 de la forme quadratique et de déterminant 3*3 de la quadrique associée (section classification selon le déterminant ?)
  • (b2) pour les transformations projectives, on obtient une classification en 5 types : les coniques non dégénérées non vide, l'ensemble vide, un point, une droite, deux droites. L'intérêt de cette classification est de dire qu'une conique non dégénérée non vide étant l'image du cercle unité via une homographie judicieusement choisie, toutes les propriétés de birapport, d'alignement et d'incidence valable sur le cercle le sera aussi sur la conique. C'est ce que je devrais trouver dans la section, cas projectif, mais comme je n'y comprends rien...

Si mon analyse est correcte, il faudrait que notre plan reflète ces diverses problématiques, mais comme je découvre tout cela, j'en suis au stade où je suis capable de voir que nous le traitons mal sans pour autant savoir comment le traiter mieux. Je passe donc la main. Proz, au boulot!!! Du moins, j'espère que tu auras le courage d'entreprendre cette refonte de la section 4 HB (discuter) 7 janvier 2014 à 19:41 (CET)

On est d'accord, à ceci près que (a) ce sont les orbites relativement aux transformations orthogonales, et dans les 3 cas on a des équations réduites qui caractérisent l'orbite (celles que tu donnes dans le cas affine, c'est bien standard, vu par ex. dans Ladegaillerie à ceci près qu'il faudrait quand même distinguer x^2+y^2=-1, et x^2=-1). il faut faire le lien avec la diagonalisation des formes quadratiques. Je ne le ferai pas immédiatement (le boulot, et ce que j'ai entamé ici, et pour lequel j'ai passé suffisamment de temps, pour que ce ne soit pas dommage de passer à autre chose avant de conclure) donc n'hésite pas au moins à commencer (surtout que demain tu en seras probablement au stade où tu sauras comment le traiter mieux).

Pour le repère de départ : inutile de partir d'un repère quelconque dans un cadre où l'on fait d'abord la classification affine me semble-t-il.

Pour moi l'ordre serait : 1/ (b1) classification affine. 2/ (a) classification euclidienne. 3/ (b2) classification projective (la classification projective serait plus logique en premier, mais pour être plus accessible ...). Proz (discuter) 7 janvier 2014 à 23:38 (CET)

Proz (discuter) 7 janvier 2014 à 23:38 (CET)

Nous sommes le lendemain.... il faut que je présente des excuses à Tauvel qui traite bien la classification affine mais sur les polynômes et pas sur les coniques. Normalement, l'ordre logique serait classification projective, classification affine, classification euclidienne mais je pense que la classification affine utilise des outils et concepts plus puissants que l'équation réduite, donc ,au vu du niveau et de l'ordre des rencontres, je préfère l'ordre inverse (réduite, affine, projectif). Penses-tu que ma proposition en feuille de brouillon pourrait avoir vocation à remplacer le début de la section 4 (intro, sections 4.1.1, 4.1.1, 4.1.2, 4.1,3, 4.1.4 ? j'ai beaucoup travaillé mais si tu penses que je suis à côté de la plaque, n'hésite pas à me le dire, je laisserai la main et toute personne sera libre de piocher dans mon travailHB (discuter) 8 janvier 2014 à 16:04 (CET)

Ca me semble très bien, là je n'ai même plus le temps de vérifier pendant quelques jours, il y a plusieurs façon de faire (la réduction affine se fait par réduction de Gauss donc ça peut être aussi très simple), là je n'avais pas souvenir ni pensé exactement à ça dans le cas affine, mais ça parait clair, et il faut bien faire un choix. N'hésite pas à substituer. Proz (discuter) 9 janvier 2014 à 02:36 (CET)

Article à retravailler

En relisant l'article, il me semble qu'il nécessite un retravail pour gagner en cohérence. Je liste en dessous les points à travailler. Je souhaiterais avoir votre avis pour effectuer des modifications pertinentes HB (d) 22 décembre 2012 à 17:29 (CET)

Champ de l'article

Le domaine des coniques est un domaine très large. Doit-on tout traiter dans cet article ? je suis plutôt d'avis de construire un article cohérent travaillant uniquement sur les coniques dans un espace affine euclidien. Les coniques projectives possèdent une définition notablement différente des coniques du plan affine euclidien ; une conique y est un élément de l'espace projectif associé à l'espace vectoriel des formes quadratiques sur V espace vectoriel de dimension 3. A chaque conique projective, est associée un ensemble de points du plan projectif appelé image de la conique, il me semble que tout ceci mériterait d'être détaillé dans un article spécial conique projective que je n'ai pas compétence à rédiger. HB (d) 22 décembre 2012 à 17:29 (CET)

C'est une question de point de vue différent (plus abstrait), plutôt que de projectif versus affine, Audin 2006 définit les quadriques affines de cette façon (en gros), et on peut inversement définir les quadriques projectives par leur équation. Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 17:04 (CET)

Ceci confirme mon manque de recul. Cette section a besoin d'un géomètre plus compétent que moi pour apporter corrections et clarifications nécessaires. HB (discuter) 6 janvier 2014 à 18:16 (CET)

Je veux dire de la façon que tu indiques, la section sur l'approche projective ne prend pas cette définition. On peut ajouter une définition (en fin d'article) sur la définition abstraite dans le cas affine (comme le fait Audin) puis éventuellement projectif. Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 19:14 (CET)

Définitions équivalentes

Il ne me semble pas que les définitions données soient équivalentes : la définition avec l'équation polynomiale de degré 2 à deux variables regroupe le cas de toutes les coniques, la définition par intersection d'un cône avec un plan ne permet pas de présenter les cas de l'ensemble vide et des deux droites strictement parallèles. La pirouette consistant à considérer un cylindre comme un cône dégénéré (angle nul, sommet envoyé à l'infini) reste une pirouette en géométrie euclidienne et n'a de sens qu'en géométrie projective. La définition par foyer et directrice exclut tous les cas non propres et le cas du cercle. Il faudrait à mon avis modifier l'introduction en conséquence. HB (d) 22 décembre 2012 à 17:29 (CET)

Coniques dégénérées

J'ai vu souvent le terme employé mais très souvent quand on se réfère à des coniques projectives. Pour les coniques du plan affine euclidien, on emploie le terme de conique propres qui sont des coniques contenant au moins deux points et ne contenant pas de droite. J'ai l'impression que l'emploi de conique dégénérée provient d'un mélange entre euclidien et projectif. On retrouve ce flou lors de la classification à l'aide du déterminant de la matrice 3 x 3 où le cas de l'ensemble vide est traité de manière confuse (dégénéré ou pas?). Je rappelle la vieille remarque de Proz qui signalait il y a déjà longtemps l'erreur sur le dessin où le cercle est classé dans les coniques dégénérées alors qu'il s'agit sans aucun doute d'une conique propre. HB (d) 22 décembre 2012 à 17:29 (CET)

Classification des coniques

Actuellement cette classification est faite deux fois, une dans la sectionClassification selon le discriminant, et l'autre dans Équation réduite. Ce doublon est-il souhaitable? Si non, quelle version est-elle à garder. Si oui, dans quel ordre présenter les deux classifications? (j'aurais pour ma part tendance à présenter la recherche sur l'équation réduite d'abord car c'est cette classification qui est plus majoritairement rencontrée, l'autre utilisant discriminant et déterminant d'ordre 3 a l'avantage d'être plus synthétique mais non sourcée et moins classique). HB (d) 22 décembre 2012 à 17:29 (CET)

Définition des ellipses, paraboles, hyperbole

J'ai déjà soulevé une certaine réticence à l'idée d'appeler parabole la réunion de deux droites parallèles, ou ellipse complexe l'ensemble des points M vérifiant x²+y²+4=0. Je pense qu'il serait plus sain de revenir à des définitions classique de ces objets, les définitions les plus simples que j'ai trouvées sont  : une ellipse est une courbe qui possède dans un repère orthonormé adéquat une équation de la forme x²/a² + y²/b² = 1 (a et b étant deux réels strictement positifs); une hyperbole .... x²/a² - y²/b² = 1; une parabole ..... y²=2px. HB (d) 22 décembre 2012 à 17:29 (CET)

Equation d'une conique

La aussi que faut-il mettre ? Ax²+2Bxy +Cy² + 2Dx +2Ey+F=0 me parait un incontournable avec les coefficients 2 qui facilitent de nombreuses écritures. Faut-il présenter les notations matricielles? si oui lesquelles : celle tXMX+LX+F=0 ? celle avec un matrice de rang 3 et le vecteur (x, y, 1) qui fait davantage référence au cas projectif ? Dans quelle mesure s'étaler sur l'expression matricielle qui offre un avantage certain pour trouver le centre des coniques à centre. Faut-il y mettre aussi les formes polaires des coniques propres ou faut-il renvoyer sur les articles dédiés? Que faire de l'équation barycentrique que je n'ai pas vu dans la littérature classique (bac +1ou 2)? HB (d) 22 décembre 2012 à 17:29 (CET)

équation barycentrique : la section est vide de contenu, c'est l'équation projective, pas sûr que ça mérite de rester. Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 14:53 (CET)

Il est question d'équation barycentrique dans le livre de Eiden en biblio dans un cadre qui est bien affine, donc j'ai écrit un peu trop vite ci-dessus. Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 16:17 (CET)

Quelques réponses à la section précédente

Bonjour, l'article me semble effectivement améliorable. Je précise que je ne sais pas comment et que je ne suis pas spécialiste du sujet.

• Dans la mise en équation, il est question du déterminant d'une matrice qui n'est pas définie pour ceux qui ne la connaissent pas, et qui est notée de la même manière que le point courant plus haut.
• L'article devrait peut-être dire d'emblée qu'on s'intéresse aux ellipses, cercles, hyperboles et paraboles, et signaler dans les différentes présentations qui suivent dans le développement qu'on peut tomber sur autre chose ?
• Quoi qu'il en soit, je te suis sur l'idée de présenter les équations réduites en premier, et de mettre la classification selon le discriminant (en signalant les cas dégénérés) ensuite (avec les coefficients 2) ; la notion de discriminant se trouve dans les bouquins des classes préparatoires scientifiques première année, s'il faut sourcer. Je n'ai pas regardé dans mes dictionnaires de mathématiques. La présentation matricielle pourrait suivre, pour envoyer sur la réduction des formes quadratiques ?
• J'ai rouvert pour l'occasion le cours de géométrie de Lespinard et Pernet ; la présentation par foyer, directrice, excentricité était hors-programme en 1962 ! La présentation se faisait par foyer et courbe directrice : « Nous appellerons « conique » l'ensemble des centres des cercles (Γ) passant par un point fixe F et tangents à un cercle fixe (F') de centre F' et de rayon 2a, le point F n'étant pas sur (F'). Le cercle (F') peut être remplacé par une droite (F') ». (F') est le cercle directeur ou la directrice dans le cas d'une droite. On obtient la parabole dans le cas d'une droite, l'hyperbole si F est extérieur à (F'), l'ellipse si F est intérieur à (F'), avec le cas particulier du cercle lorsque F=F'. Peut-être faut-il parler de ce cercle directeur ? Il en est un peu question dans l'article sur l'ellipse, mais pas dans celui sur l'hyperbole (je crois).
• Peut-être le point de vue « sections d'un cône » pourrait avoir lieu dans une section historique ? Et relier les présentations par le théorème de Dandelin ?

Cordialement, Asram (d) 22 décembre 2012 à 19:51 (CET)

Lecture critique de la section définition monofocale

• Le titre me parait non courant. Mes sources parlent plutôt de coniques définies par foyer ET directrice
• Le choix de l'équation me semble peu habituel : on privilégie plutôt d'autres centres comme le foyer pour une équation polaire, le sommet (ou un des sommets) notamment pour la parabole, le centre de l'ellipse pour les coniques à centre. je propose donc de faire comme Lelong-Ferrand Arnaudiès, de choisir un point quelconque de l'axe principal comme origine du repère pour la mise en équation et de donner ensuite l'équation dans le cas où l'origine est à un sommet de la conique et l'équation dans le cas l'origine est prise au centre de la conique si elle en possède un. Il faudra aussi proposer, en relation avec le mouvement des astres, une équation polaire par rapport au foyer de la conique (comme chez Lelong-Ferrand Arnaudies)
• malgré des remarques de plusieurs lecteurs, des erreurs persistent : la définition par foyer et directrice ne permet pas de construire de cercle donc dire que lorsque e=0 on obtient un cercle alors qu'un calcul simple montre que le seul point vérifiant MF=0.MH est le foyer F me semble une hérésie. On peut, à la rigueur, montrer à partir de l'équation dans le cas où l'origine est un sommet que cette équation correspond, dans le cas où e=0 à un cercle de rayon p à condition d'envoyer la directrice à l'infini
• Dans la définition classique, le foyer est toujours distinct de la droite, il est donc inutile d'envisager les cas où il serait sur la droite. On peut sans problème laisser le cas des coniques dégénérées à l'équation du second degré. je compte donc supprimer cette remarque
• La remarque sur le déterminant est hors sujet à mon avis dans cette section. Je compte la supprimer
• Je compte également supprimer l'illustration File:Comète trajectoire 4.svg d'une part à cause de la faute d'orthographe, d'autre part à cause de la présence d'un cercle dans les exemples HB (discuter) 5 janvier 2014 à 23:32 (CET)

Bonjour, comme indiqué plus haut, si la directrice est un cercle plutôt qu'une droite, on récupère le cas du cercle. Mais je ne sais pas si, bien que sourcée, l'information est utile ? Cdlt, Asram (discuter) 6 janvier 2014 à 14:16 (CET)

le fait que les coniques aient été définie aussi de cette façon (source à l'appui) justifie que le fait soit évoqué sans pour autant qu'on s'étale. pourquoi ne l'écrirais-tu as si tu as encore la source sous la main ?

J'essaie de m'y coller, au pire le prochain week-end. Asram (discuter) 6 janvier 2014 à 22:07 (CET)

Bon, j'ai un doute. Je renvoie dans une section plus bas. Asram (discuter) 7 janvier 2014 à 01:22 (CET)

Dans les manques je signale aussi l'absence de coniques définies par 5 points. HB (discuter) 6 janvier 2014 à 18:19 (CET)

Conique projective

Comme annoncé déjà il y a quelque temps, j'ai l'intention de recentrer l'article sur l'étude des courbes planes que l'on appelle coniques, sans chercher à l'étendre aux coniques projectives qui devraient faire l'objet d'un article dédié. Je n'ai pas compétence à valider et/ou corriger éventuellement la section définition analytique dans le cas projectif, et j'ai déjà signaler mon incompétence à créer un article sur le sujet. Comme personne n'a voulu se lancer, je compte créer un embryon d'article (par scission) pour y transférer tout ce qui, dans cet article, concerne l'aspect projectif. J'en profiterai pour ajouter un bandeau ébauche et un bandeau à sourcer. HB (discuter) 5 janvier 2014 à 23:32 (CET)

Désolé de cette intervention tardive, mais je ne vois cette discussion que maintenant et j'ai parcouru très rapidement. Est-ce que "conique projective" est le bon titre ? J'ai une vision très superficielle et je n'ai pas regardé ça récemment, mais pour moi il s'agit plutôt du même objet que l'on étudie de points de vue différents (ce que tu cites au dessus c'est une vision abstraite, mais au fond c'est bien une courbe du second degré en projectif), donc "conique projective" me paraît curieux, je verrai "étude projective des coniques" maintenant je vois que Ingrao parle de conique projective. Je crois que ton souci est de gérer le paragraphe sur les coniques qui n'est pas terrible sans être faux à première vue, mais surtout il fait a priori de la géométrie affine dans un contexte projectif, donc ça ne me parait pas un bon point de départ pour un article sur les coniques du point de vue projectif. Par ailleurs ce serait dommage de ne pas parler du tout de la classification projective (une seule conique) alors que c'est très lié à l'intersection avec le cone. Peut-être peut-on réduire cette section, et pour moi il faut également parler de classification affine qui est calculatoirement très simple. Une solution ne serait-elle pas de réduire cette section sur la géométrie projective, en attendant un article spécialisé ? Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 13:58 (CET)

Précision : par classification affine je veux dire la division en ellipse / parabole / hyperbole (+ cas dégénérés) (c'est lié à la loi d'inertie de Sylvester en dimension 2), il faudrait éventuellement préciser s'il s'agit de coniques réelles ou complexes (ou corps quelconque). Ca ne coûte pas grand chose de partir en réel (pour l'intuition) et de faire quelques remarques sur les généralisations possibles à condition de traiter clairement à part la géométrie euclidienne. Tout ça est actuellement assez confus, par ailleurs c'est bien la classification affine qui est traitée dans la section "cas projectif". Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 14:46 (CET)

Je constate qu'Audin également parle de conique affine et de conique projective, mais elle parle bien de coniques affines traitées du point de vue projectif. Il n'y a pas assez dans l'article même pour un embryon d'article sur les coniques projectives, et je pense que malgré tout il faut en parler un peu ici dans l'article principal sur les coniques. Je pourrais éventuellement réécrire avec source (Audin par ex., ou peut-être Ladegaillerie) le paragraphe actuel, quand tu auras repris le reste. Proz (discuter) 6 janvier 2014 à 21:05 (CET)

Je ne toucherai pas au contenu de la partie projective mais cela ne m'empêche pas d'en faire une lecture critique : on annonce que l'on se pose une question « en se limitant à l'image de la conique dans le plan affine ci-dessus défini, quel type de conique affine retrouve-t-on ? (et même, retrouve-t-on bien une conique affine ? » à laquelle on a répondu à la ligne du dessus : « {{{1}}} ». Ensuite on annonce que l'« on regarde d'abord leur comportement à l'infini » mais par la suite on s'aperçoit que l'on ne fait rien d'autre tout en concluant, sans indiquer comment (est-ce naturel? cela fait-il appel à des démonstrations non présentées? ) sur la nature de la courbe. On termine sur une annonce de classification des coniques « En fait, la classification des coniques projectives provient directement de celle des forme bilinéaire symétrique sur l'espace vectoriel de dimension 3 sous-jacent à notre plan projectif. » qui n'est en réalité pas présentée (je passe sous silence utilisation PoV du nous).

Si j'en crois Michel Coste[2], il y a beaucoup de choses intéressantes à dire sur l'étude projective des coniques mais comme je n'ai aucun des ouvrages qu'il met en référence (Michèle Audin, Marcel Berger, Pierre Samuel), je m'abstiendrai d'intervenir sur ce sujet et je te laisse donc (définitivement) la main. HB (discuter) 11 janvier 2014 à 10:11 (CET)

J'ai commencé quelque chose, pas trop relu, source à ajouter, un tableau pour la classification, quelques compléments ... Proz (discuter) 15 janvier 2014 à 03:35 (CET)

Définition des coniques par foyer et courbe directrice

Selon le cours de géométrie de Lespinard et Pernet

Une conique peut être définie comme l'ensemble des centres M des cercles passant par un point fixe F et tangent à un cercle fixe (C), appelé cercle directeur, F n'appartenant pas à (C).
Dans le cas où F est un point intérieur à (C), la conique est une ellipse. C'est un cercle dans le cas où F est le centre de (C). Dans le cas où F est un point extérieur à (C), la conique est une hyperbole.
Si l'on remplace le cercle (C) par une droite, appelée directrice, la conique est une parabole.
Notons F' le centre du cercle (C), et 2a son rayon.
Dans le cas de l'ellipse, le cercle centré en M est tangent intérieurement à (C), et le point M vérifie MF + MF' =2a. Dans le cas de l'hyperbole, le cercle centré en M est tangent à (C) soit intérieurement, et le point M vérifie MF-MF'=2a, soit extérieurement, et le point M vérifie MF' - MF =2a. On regroupe les deux cas par la condition |MF - MF'|=2a.

• Source : V. Lespinard et R. Pernet, Géométrie : Cours Complet. Classe de mathématiques élémentaires, Lyon, André Desvigne, 6^e éd., 646 p., chap. XXX (« Générations ponctuelles des coniques »), p. 451-453

Remarques

• Je ne sais pas si finalement c'est utile. Cela va faire doublon avec la définition bifocale, ou alors c'en est une justification ? Et par rapport à la section « Définition géométrique et définition bifocale », je ne sais pas comment l'articuler. Cela permet de rester dans le plan ?
• Je pensais le bouquin plus riche. J'utilise cette approche pour voir les coniques comme enveloppes des médiatrices de [mF] lorsque m décrit un cercle fixe (ellipse, cercle, hyperbole), ou une droite fixe (parabole). Mais du coup, le livre ne source pas cette approche.
• Et ce livre est-il notable ? Il correspond juste au programme officiel de 1962.

Cdlt, Asram (discuter) 7 janvier 2014 à 01:22 (CET)

On peut le mettre comme corolaire à l'aspect bifocal (avec tentative d'unification, puisqu'avec la droite, on retrouve aussi la parabole). HB (discuter) 7 janvier 2014 à 21:40 (CET)

Ca permet d'introduire le cercle directeur, ça me semble bien (dans le paragraphe sur le définition bifocale). On pourrait avoir une partie "définition et propriétés métriques" par exemple, qui regroupe ces définitions, avec l'intersection avec un cône en introduction, et la section "lien entre les définitions" (qui ne parle que de celles-ci) et peut être reprise en conclusion. Il y a le th. de Dandelin qu'Asram proposait justement et ça peut être mieux dit. En seconde partie la définition (qui est quand même la plus générale) comme courbe du second degré avec les classifications, une troisième partie sur les intersections (avec une droite, une seule conique passant par 5 points) dans laquelle il sera délicat d'éviter les complexes et la géom. projective a priori. Proz (discuter) 7 janvier 2014 à 22:47 (CET)

Conique sur quels corps ?

Si on parle de conique comme de courbe plane, il s'agit d'un non-dit qui place la conique dans un plan réel. Cependant, avant la refonte, on évoquait incidemment les coniques complexes, et dans les coniques projectives, on se place dans un corps de caractéristique différente de 2 et on évoque aussi le cas complexe et le cas du corps fini. Faut-il en toucher deux mots? HB (discuter) 11 janvier 2014 à 10:12 (CET)

En fait je ne crois pas qu'il y ait de non-dit : on parle aussi de courbe plane dans un autre corps. Si l'article est complet, il doit forcément en toucher deux mots, après il y a possibilité d'articles détaillés. Proz (discuter) 17 janvier 2014 à 01:58 (CET)

Coniques dégénérées

J'ai modifié le résumé introductif qui présentait le cercle comme une conique dégénérée, en référence je suppose au fait qu'il n'y ait pas vraiment de définition par foyer et directrice. Je ne connais pas cette définition, qui au minimum n'est pas universelle (et ne coïncide plus avec celle de forme quadratique dégénérée), avec celle-ci la classification affine qui est donnée dans l'article n'est plus correcte. Si une telle définition de conique dégénérée existe ou a existé, il est possible d'en parler je suppose dans la partie présentant la définition par foyer et directrice, dans le RI ça ne me parait pas utile. Par ailleurs, le RI devrait préciser que la notion n'est pas retreinte à la géométrie euclidienne (ce n'était pas le cas auparavant) cf. section précédente. Proz (discuter) 23 février 2019 à 20:48 (CET)

Sur le cercle, plus prudent en effet. Sur le reste, je te laisse faire. A défaut de ma participation, tu as mon encouragement. HB (discuter) 24 février 2019 à 19:50 (CET)