Dimension d'Assouad

En mathématiques, et plus précisément en géométrie fractale, la dimension d'Assouad est une définition de la dimension fractale pour les sous-ensembles d'un espace métrique. Il a été introduit par Patrice Assouad dans sa Thèse de doctorat en 1977 et publié plus tard en 1979. Elle a été défini plus tôt par Georges Bouligand (1928). En plus d'être utilisée pour étudier les fractales, la dimension d'Assouad a également été utilisée pour étudier les applications quasi-conformes et les problèmes de plongement.

Dimension d'Assouad sur le triangle de Sierpiński. Pour R=2 et r=1 $N_{r}(B_{R}(x)\cap E)=3=\left({\frac {2}{1}}\right)^{\alpha }$, donc la dimension peut être ${\frac {\log(3)}{\log(2)}}$ comme la dimension Hausdorff .

Définition

« La dimension d'Assouad de $X,d_{A}(X)$, est l'infinimum des $s$ tels que $(X,\varsigma )$ est $(M,s)$-homogène pour un certain $M\geq 1$. »

Soit $(X,d)$ un espace métrique, et soit $E$ être un sous-ensemble non vide de $X$ . Pour $r>0$, soit $N_{r}(E)$ le plus petit nombre de boules ouvertes métriques de rayon inférieur ou égal à r avec lequel il est possible de recouvrir $E$. La dimension d'Assouad de $E$ est défini comme l'infinumum $\alpha \geq 0$ pour laquelle il existe des constantes positives $C$ et $\rho$ de sorte que, si

$0<r<R\leq \rho ,$

on ait :

$\sup _{x\in E}N_{r}(B_{R}(x)\cap E)\leq C\left({\frac {R}{r}}\right)^{\alpha }.$

L'intuition sous-jacente à cette définition est que, pour un ensemble E de dimension entière "ordinaire" n, le nombre de petites boules de rayon r nécessaires pour couvrir l'intersection d'une plus grande boule de rayon R avec E sera comme (R/r ) ⁿ .

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Assouad dimension » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• Patrice Assouad, « Étude d'une dimension métrique liée à la possibilité de plongements dans Rⁿ », Comptes rendus de l'Académie des sciences, Série A-B, vol. 288, n^o 15,‎ 1979, A731–A734
• M. G. Bouligand, « Ensembles impropres et nombre dimensionnel », Bulletin des Sciences Mathématiques, vol. 52, 1928, p. 320-344