En géométrie différentielle, une densité est une notion qui sert à définir une intégrale indépendante de toute orientation. Ce faisant, elle sert d'abord à pouvoir intégrer sur une variété différentielle qui n'est pas orientable. Ensuite, la notion de densité sert aussi à définir une mesure positive sur une variété différentielle et, par conséquent, à pouvoir parler de densité de probabilité sur une variété différentielle.

Densité sur un espace vectoriel modifier

Définition : Une densité sur un espace vectoriel réel   de dimension   est une application   telle que :

 

Remarque : Cette définition se généralise au cas d'une densité définie sur un espace vectoriel complexe, voir[1].

Densité sur une variété modifier

Considérons une variété différentielle   de dimension   et soit   son fibré des repères tangents. Considérons la représentation de groupe suivante :

 

De cette représentation   on peut définir sur la variété   le  -fibré vectoriel associé suivant :

 

Définition : Une densité sur une variété   est une section du fibré  .

Remarque : Point par point, une densité sur une variété   est une densité d'espace vectoriel pour les fibres du fibré tangent  .

Exemples modifier

Exemple 1 : Soit   une forme volume sur  . Alors, la valeur absolue   définie en tout point   par :

 

est une densité sur  .

Exemple 2 : Soit   une variété symplectique. Alors la valeur absolue de la forme volume de Liouville   est la densité de Liouville[2]  .

Applications modifier

Parmi les applications de la notion de densité sur une variété différentielle mentionnons :

  • intégration sur une variété différentielle non orientable ;
  • intégrales définies positives indépendamment de l'orientation pour définir une mesure :
 

Ceci permet entre autres de considérer une densité de probabilité sur une variété différentielle, par exemple dans un contexte de quantification géométrique.

Notes et références modifier

  1. N. M. J. Woodhouse, Geometric quantization, Clarendon Press., 1991.
  2. Jean-Marie Souriau, Thermodynamique et géométrie, 1978, Mathematics Subject Classification. 82A30 (58F05).