Grand axe

moitié du plus grand diamètre d'une ellipse
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En géométrie, un grand axe d'une ellipse, d'un ellipsoïde ou d'un hyperellipsoïde est un diamètre de longueur maximale de cette courbe, surface ou hypersurface. C’est l’unique segment reliant les points d’intersections avec elle de son axe de symétrie principal lorsqu’elle n’est pas un cercle, une sphère ou une hypersphère, ou de n’importe lequel de ses axes de symétrie si c’en est un ou une.

Schéma montrant le demi-grand axe d'une ellipse, qui joint le centre et un des bords de l'ellipse.
Le demi-grand axe d'une ellipse.

Un demi-grand axe (en latin : semiaxis maior) en est une moitié d’un grand axe, dont l’une des extrémités est ainsi le centre de l’(hyper)ellips(oïd)e. Si l'objet est un cercle, une sphère ou une hypersphère, un demi-grand axe (ou un demi-petit axe) en est un rayon.

Formulation analytique

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L'équation cartésienne normalisée d'une quadrique en dimension quelconque (son équation dans un repère orthonormé ayant pour origine le centre de la quadrique et pour directions celles de ses axes principaux) est :

 

D est la dimension de l'espace, les   les D coordonnées et les   D constantes (choisies positives).

Le demi-grand axe est la plus grande de ces constantes,  .

Cas particulier des ellipses et des ellipsoïdes ou hyperellipsoïdes de révolution oblongs

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Définition alternative

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Une ellipse   (ou, à plus de deux dimensions, un ellipsoïde ou hyperellipsoïde de révolution oblong) est l'ensemble des points M de l'espace   (le plan dans le cas d'une ellipse) dont la somme des distances à deux points fixes F et F' est constante. Cette constante, notée  , est le grand axe de   :

 .

Propriétés géométriques

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Le grand axe d'une ellipse est son plus grand diamètre, un segment qui traverse à la fois le centre et les deux foyers de l'ellipse et la rejoint en ses deux points les plus opposés. Le demi-grand axe correspond à la moitié du grand axe et joint le centre et un bord de l'ellipse à travers l'un des foyers.

De façon similaire, le segment perpendiculaire au grand axe, passant par le centre et rejoignant l'ellipse est son petit axe. Les axes sont les équivalents elliptiques des diamètres d'un cercle, tandis que les demi-axes sont les analogues des rayons.

Notions connexes

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Excentricité

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La longueur du demi-grand axe   et celle du demi-petit axe   sont liées par l'excentricité   et le « paramètre » de l’ellipse, généralement noté p, représentant le demi latus rectum (corde parallèle à la directrice et passant par le foyer) :

 
 
 

Cercle principal

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Le cercle   de centre  , le centre d'une ellipse  , et de diamètre  , le grand axe de l'ellipse, est le cercle principal de l'ellipse.

L'ellipse   est l'image du cercle principal   par l'affinité orthogonale de base Ox et de rapport  .

Notions équivalentes

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Le cercle étant une ellipse d'excentricité linéaire nulle, le grand axe d'un cercle est son diamètre et son demi-grand axe son rayon.

 
Paramètres d'une ellipse, dont le demi-grand axe (a) et le demi-petit axe (b).
 
Paramètres d'une hyperbole, dont l'axe transverse (a) et son axe conjugué (b).

L'hyperbole est une conique d'excentricité linéaire supérieure à 1. L'axe transverse d'une hyperbole, segment de la droite qui traverse le centre et les deux foyers de l'hyperbole, est l'équivalent du demi-grand axe d'une ellipse. L'axe conjugué d'une hyperbole, segment de la droite compris entre l'un des sommets de l'hyperbole et l'une des droites asymptotes à la courbe de même sommet, est l'équivalent au demi-petit axe d'une ellipse.

Astronomie

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Période orbitale

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En astronomie, le demi-grand axe est un élément orbital important, permettant de définir partiellement une orbite. De façon générale, dans le cadre d'un problème à deux corps, le carré de la période orbitale   d'un corps de masse   orbitant autour d'un autre corps de masse   est :

 

où :

Si l'un des corps est suffisamment petit pour que sa masse soit négligée par rapport à l'autre :

 

  est le paramètre gravitationnel standard.

Dans ce cas, pour toutes les orbites de même demi-grand axe, la période est la même quelle que soit l'excentricité.

On obtient donc la proportionnalité suivante :

 

ce qui correspond à la troisième loi de Kepler.

Distance moyenne

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Le demi-grand axe ne correspond pas forcément à la distance moyenne entre les deux corps en orbite, car cette distance dépend du procédé utilisé :

Par ailleurs, le « rayon moyen de l'ellipse », qui désigne en fait le rayon du cercle de même aire, est  .

Voir aussi

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Articles connexes

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Liens externes

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