Dérivée seconde discrète

En analyse numérique, on introduit parfois dans les problèmes de discrétisation la notion de dérivée seconde discrète, qui tend à reproduire l'opération de dérivation deux fois. Son principe repose sur l'approximation de cette dérivée faite en prenant deux points séparés d'une distance non infinitésimale.

DéfinitionModifier

Soit une fonction f de la variable réelle x. On pose δx une quantité supposée « petite ». Alors la dérivée seconde discrète de f en un point x est la fonction :

 

Lorsque  , on retrouve la dérivée usuelle, définie par la valeur limite du rapport ci-dessus.

ExempleModifier

Soit la fonction z définie par :

 

Cette fonction correspond à la position d'un point matériel en chute libre, lancé verticalement à une vitesse V0 d'une hauteur Z0.

La dérivée seconde exacte de cette fonction est :

 

La dérivée seconde discrète est :

 

Dans ce cas précis, la dérivée seconde discrète donne un résultat exact — dans la plupart des cas en revanche, et en particulier si la fonction n'est pas assez régulière, une erreur peut s'accumuler et donner des résultats aberrants.

Voir aussiModifier