Courbe de Lissajous

la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal

La courbe de Lissajous, aussi dénommée figure de Lissajous ou courbe de Bowditch, est la trajectoire d'un point dont les composantes rectangulaires ont un mouvement sinusoïdal.

Courbe de Lissajous.
Un cercle est une figure de Lissajous.

Cette famille de courbes fut étudiée par Nathaniel Bowditch en 1815, puis plus en détail par Jules Lissajous en 1857.

DéfinitionModifier

 
Courbe de Lissajous obtenue sur un oscilloscope.

Une courbe de Lissajous peut toujours être définie par l'équation paramétrique suivante :

 
 
  et  .

Le nombre n est appelé le paramètre de la courbe, et correspond au rapport des pulsations des deux mouvements sinusoïdaux. D'ailleurs, si ce rapport est rationnel, il peut être exprimé sous la forme   et l'équation paramétrique de la courbe devient :

 
 
 
  et  .

PropriétésModifier

  • Si n est irrationnel, la courbe est dense dans le rectangle [–a, a]×[–b ,b].
  • Si n est rationnel,
    • la courbe est une courbe algébrique (unicursale) de degré 2q si   pour p impair ou   pour p pair.
    • la courbe est une portion de courbe algébrique de degré q si   pour p impair ou   pour p pair.
  • Si n est un entier pair et  , ou si n est un entier impair et  , la courbe est une portion de la courbe du n-ième polynôme de Tchebychev.

Cas particuliersModifier

  • Si n = 1, la courbe est une ellipse.
    • Si a = b et  , cette ellipse est un cercle.
    • Si  , cette ellipse est un segment de droite.
  • Si a = 2b et n = q = 2 (donc p = 1), la courbe est une besace.
    • Si  , cette besace est une portion de parabole.
    • Si  , cette besace est une lemniscate de Gerono.

Voici quelques exemples de tracés avec   et a = b.

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Liens avec d'autres courbesModifier

Les courbes de Lissajous sont des projections de couronnes sinusoïdales sur un plan parallèle à l'axe de symétrie.

ApplicationsModifier

 
Traces de lumière en forme de courbe de Lissajous.

Les courbes de Lissajous ont différentes applications :

Notes et référencesModifier

Voir aussiModifier

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BibliographieModifier

Liens externesModifier