Cosmos (théorie des catégories)

En mathématiques, et plus spécifiquement en théorie des catégories, un cosmos (au pluriel cosmoi) est une catégorie monoïdale symétrique fermée qui est bicomplète^[1]. La notion a été introduite dans les années 1970 et est attribuée au mathématicien français Jean Bénabou^[1]^,^[2]^,^[3]. Elle généralise en un sens la construction d'un topos (qui est un modèle pour une théorie des ensembles) afin de faciliter l'étude des catégories enrichies (et des catégories d'ordre supérieur^[4]). Les cosmoi ainsi définis (« au sens de Bénabou ») sont utilisés comme base sur laquelle enrichir une catégorie^{[Note 1]}.

Exemples modifier

La catégorie des ensembles, étant cartésienne fermée et bicomplète, est un cosmos. Une catégorie « enrichie sur Set » est une catégorie au sens habituel.
De même la catégorie des catégories est un cosmos. Une catégorie enrichie sur Cat est une 2-catégorie (stricte).
Toute catégorie de préfaisceaux (dotée de sa structure de catégorie cartésienne) est également un cosmos.
En particulier c'est le cas de la catégorie des ensembles simpliciaux.

Voir aussi modifier

Topos

Notes et références modifier

Notes modifier

↑ Cependant, puisqu'ils requièrent l'existence de toutes les (co)limites et en particulier des (co)limites infinies, des variantes moins exigeantes ont été proposées (e.g. cosmoi « indexés » ne demandant que l'existence de limites finies). Certains auteurs tels que Street prennent une approche différente et introduisent les cosmoi « fibrants », moins généraux que les cosmoi de Bénabou.

Références modifier

↑ ^{a et b} (en) Ross Street, « Elementary cosmoi I », dans Category Seminar, Springer Berlin Heidelberg, 1974 (ISBN 9783540069669, DOI 10.1007/bfb0063103, lire en ligne), p. 134–180
↑ Jean Bénabou, Les distributeurs, Rapport No. 33, Séminaires de Math. Pure, Univ. Catholique de Louvain, 1973. Voir §4.
↑ G. M. Kelly, On the operads of J. P. May, Repr. Theory Appl. Categ. (2005), no. 13, p. 1–13. MR MR2177746 (2006f:18005)
↑ (en) Emily Riehl et Dominic Verity, « Elements of $\infty$ -category theory », 2018

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[5] Cependant, puisqu'ils requièrent l'existence de toutes les (co)limites et en particulier des (co)limites infinies, des variantes moins exigeantes ont été proposées (e.g. cosmoi « indexés » ne demandant que l'existence de limites finies). Certains auteurs tels que Street prennent une approche différente et introduisent les cosmoi « fibrants », moins généraux que les cosmoi de Bénabou.

[:0-1] {a et b} (en) Ross Street, « Elementary cosmoi I », dans Category Seminar, Springer Berlin Heidelberg, 1974 (ISBN 9783540069669, DOI 10.1007/bfb0063103, lire en ligne), p. 134–180

[2] Jean Bénabou, Les distributeurs, Rapport No. 33, Séminaires de Math. Pure, Univ. Catholique de Louvain, 1973. Voir §4.

[3] G. M. Kelly, On the operads of J. P. May, Repr. Theory Appl. Categ. (2005), no. 13, p. 1–13. MR MR2177746 (2006f:18005)

[4] (en) Emily Riehl et Dominic Verity, « Elements of $\infty$ -category theory », 2018

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[Note 1]