Construction de Cayley–Dickson

En mathématiques, la construction de Cayley–Dickson, nommée d'après Arthur Cayley et Leonard Eugene Dickson, fournit une suite d'algèbres sur le corps des réels, chacune ayant le double de la dimension de sa prédécesseure, connues comme les algèbres de Cayley–Dickson. Les nombres complexes, les quaternions ou les octonions en sont des exemples.

La construction de Cayley–Dickson définit la nouvelle algèbre comme le produit cartésien de l'algèbre de départ avec elle-même, muni d'une multiplication distincte de la multiplication composante par composante et d'une involution appelée conjugaison. Au fur et à mesure que cette construction est appliquée, les symétries du corps des réels disparaissent : d'abord le caractère ordonné avec les nombres complexes, puis la commutativité avec les quaternions, l'associativité avec les octonions, et l'alternativité avec les sédénions.

Propriétés des algèbres de Cayley–Dickson

Algèbre	Dimension	Ordonné	Propriétés de la multiplication				Diviseurs de zéro non triviaux
			Commutativité	Associativité	Alternativité	Associativité des puissances
Réels	1	Oui	Oui	Oui	Oui	Oui	Non
Complexes	2	Non	Oui	Oui	Oui	Oui	Non
Quaternions	4	Non	Non	Oui	Oui	Oui	Non
Octonions	8	Non	Non	Non	Oui	Oui	Non
Sédénions	16	Non	Non	Non	Non	Oui	Oui
	≥ 32