Constante de Foias

En analyse mathématique, la constante de Foias est l'unique réel α > 0 tel que la suite définie par récurrence par

Évolution de la suite $(x_{n})$ pour diverses valeurs de $x_{1}$, autour de la constante de Foias. L'évolution pour $x_{1}=\alpha$ est tracée en vert. Les autres valeurs initiales conduisent à deux valeurs d'adhérence 1 et $+\infty$ . Le repère est à échelle logarithmique.

$x_{1}=\alpha \quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{n}$

ait pour limite l'infini.

Précisions

Une démonstration de l'existence et de l'unicité de ce réel a été proposée dans l'énoncé du concours général 2020 de mathématiques.

Ce réel, pour lequel on ne connaît pas de formule explicite, admet pour valeur approchée $1{,}187$.

La suite $(x_{n})$ correspondante est équivalente à $\left({\frac {n}{\ln n}}\right)$ donc aussi (mais c'est un hasard) à $\left(\pi (n)\right)$, où π est la fonction de compte des nombres premiers.

Anecdote

On peut considérer que cette constante a été obtenue par sérendipité. En effet, l'étude de cette question vient d'une coquille dans un énoncé plus simple : une suite $(x_{n})$ telle que

$x_{1}>0\quad {\text{et}}\quad \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad x_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{x_{n}}}\right)^{x_{n}}$

peut-elle tendre vers l'infini ?

La réponse est « non », car toutes les suites de cette forme convergent vers la racine (qui vaut approximativement $2{,}293$) de l'équation $x=\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$. Un autre argument consiste à remarquer que $\lim _{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=\mathrm {e} \neq +\infty$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Foias constant » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

• (en) S. R. Finch, Mathematical Constants, Cambridge University Press, 2003 (lire en ligne), p. 430, « Foias' constant »
• (ro) Andrei Vernescu, « Constante de tip Euler generalizate », Gazeta Matematică, a : Revistă de cultură Matematica, Anul XXV(CIV) n^o 1,‎ 2007, p. 11-16 (lire en ligne), p. 15