Suite de Conway

suite mathématique
(Redirigé depuis Constante de Conway)

En mathématiques, La suite de Conway est une suite d'entiers étudiée en 1986 par le mathématicien britannique John Horton Conway, initialement sous le nom de « suite audioactive »[1],[2]. Elle est également connue sous le nom anglais de Look and Say sequence (« suite regarde et dis »). Elle est répertoriée comme suite A005150 de l'OEIS.

Dans cette suite autoréférente, chaque terme se détermine en annonçant les chiffres formant le terme précédent.

Définition modifier

 
Suite de Conway.

Le premier terme de la suite de Conway est posé comme égal à 1. Chaque terme de la suite se construit en décrivant le terme précédent, c'est-à-dire en énonçant le nombre de fois où chaque chiffre est répété, suivi du chiffre en question.

Concrètement :

 

Ce terme comporte simplement un « 1 ». Par conséquent, le terme suivant est :

 

Celui-ci est composé de deux « 1 » :

 

En poursuivant le procédé :

  12 11
  11 12 21
  31 22 11
  13 11 22 21

Et ainsi de suite.

Il est possible de généraliser le procédé en prenant un terme initial différent de 1. Dans le reste de cet article, on supposera que le terme initial vaut 1.

Historique modifier

C'est au départ une devinette posée en marge des olympiades internationales de mathématiques de 1977 à Belgrade, mais son origine est peut-être plus ancienne[3]. Mario Hilgemeier en donne quelques propriétés en 1986[4],[5] et Conway lui donne ses lettres de noblesse la même année[1],[2].

 
Graphe représentant, en ordonnées, le nombre de chiffres du n-ième terme de la suite de Conway, avec n en abscisses, dans un repère semi-logarithmique. Chaque courbe correspond à un terme initial différent : 1 (bleu), 23 (rouge), 13 (violet), 312 (vert). Les courbes tendent vers des droites dont la pente est le logarithme de la constante de Conway.

Les 20 premiers termes modifier

Terme
1 1
2 11
3 21
4 12 11
5 11 12 21
6 31 22 11
7 13 11 22 21
8 11 13 21 32 11
9 31 13 12 11 13 12 21
10 13 21 13 11 12 31 13 11 22 11
11 11 13 12 21 13 31 12 13 21 13 21 22 21
12 31 13 11 22 21 23 21 12 11 13 12 21 13 12 11 32 11
13 13 21 13 21 32 11 12 13 12 21 12 31 13 11 22 21 13 11 12 21 13 12 21
14 11 13 12 21 13 12 11 13 12 31 12 11 13 11 22 21 12 13 21 13 21 32 21 13 31 22 21 13 11 22 11
15 31 13 11 22 21 13 11 12 31 13 11 12 13 21 12 31 13 21 32 21 12 11 13 12 21 13 12 11 13 22 21 23 11 32 21 13 21 22 21
16 13 21 13 21 32 21 13 31 12 13 21 13 31 12 11 13 12 21 12 13 21 13 12 11 13 22 21 12 31 13 11 22 21 13 11 12 31 13 32 11 12 13 21 13 22 21 13 12 11 32 11
17 11 13 12 21 13 12 11 13 22 21 23 21 12 11 13 12 21 23 21 12 31 13 11 22 21 12 11 13 12 21 13 11 12 31 13 32 21 12 13 21 13 21 32 21 13 31 12 13 21 23 12 31 12 11 13 12 21 13 32 21 13 11 12 21 13 12 21
18 31 13 11 22 21 13 11 12 31 13 32 11 12 13 12 21 12 31 13 11 22 11 12 13 12 21 12 13 21 13 21 32 21 12 31 13 11 22 21 13 31 12 13 21 23 22 21 12 11 13 12 21 13 12 11 13 22 21 23 21 12 11 13 12 11 12 13 11 12 13 21 12 31 13 11 22 21 23 22 21 13 31 22 21 13 11 22 11
19 13 21 13 21 32 21 13 31 12 13 21 23 12 31 12 11 13 11 22 21 12 13 21 13 21 22 31 12 11 13 11 22 21 12 11 13 12 21 13 12 11 13 22 21 12 13 21 13 21 32 21 23 21 12 11 13 12 11 12 13 32 21 12 31 13 11 22 21 13 11 12 31 13 32 11 12 13 12 21 12 31 13 11 12 31 12 11 13 31 12 11 13 12 21 12 13 21 13 21 32 11 12 13 32 21 23 11 32 21 13 21 22 21
20 11 13 12 21 13 12 11 13 22 21 23 21 12 11 13 12 11 12 13 11 12 13 21 12 31 13 21 32 21 12 11 13 12 21 13 12 11 22 13 21 12 31 13 21 32 21 12 31 13 11 22 21 13 11 12 31 13 32 21 12 11 13 12 21 13 12 11 13 22 11 12 13 12 21 12 31 13 11 12 31 12 11 23 22 21 12 13 21 13 21 32 21 13 31 12 13 21 23 12 31 12 11 13 11 22 21 12 13 21 13 31 12 13 21 12 31 23 21 12 31 13 11 22 21 12 11 13 12 21 13 12 11 13 12 31 12 11 23 22 11 12 13 21 13 22 21 13 12 11 32 11

Propriétés modifier

La suite de Conway a de multiples propriétés. Certaines d'entre elles sont indiquées ci-dessous, avec, pour les plus simples, les démonstrations correspondantes.

  • Aucun terme de la suite ne comporte un chiffre supérieur à 3.
  • Hormis le terme initial, tous les termes de la suite possèdent un nombre pair de chiffres.
  • À partir du quatrième terme, les termes de rang pair se terminent par 211 et les termes de rang impair par 221.
  • À partir du huitième terme, les termes commencent cycliquement par "1113", "3113" et "1321".
  • La suite de Conway est strictement croissante, ainsi que celle des L(n) où L(n) est le nombre de chiffres constituant le n-ième terme de la suite de Conway.
  • En moyenne, les termes de la suite possèdent 50 % de chiffres 1, 31 % de 2 et 19 % de 3.[réf. nécessaire]
  •  
    Racines du polynôme de Conway dans le plan complexe.
    Le nombre   de chiffres du n-ième terme de la suite est équivalent à Cλn, où λ ≈ 1,303 577[6] est un entier algébrique de degré 71 nommé constante de Conway[7],[8], et C est une autre constante. En particulier :
     
Cette propriété reste vraie dans le cas général[9] où le premier terme de la suite est choisi différent de 1 (et de 22, puisque dans ce cas la suite est constante), avec une constante C qui dépend de ce choix, mais avec toujours la même constante λ.

La constante de Conway est l'unique solution réelle positive de l'équation polynomiale suivante[10] :

 

« Désintégration audioactive » modifier

John Conway qualifia initialement cette suite de « désintégration audioactive » (audioactive decay en anglais), un jeu de mots sur la désintégration radioactive, en remarquant le comportement des différents termes de la suite.

Dans son théorème cosmologique[8], il démontra qu'à partir d'un certain point, presque tous les termes de la suite peuvent être décomposés en 92 sous-termes (nommés éléments, par analogie avec les éléments chimiques) qui se décomposent au terme suivant en un certain nombre d'autres éléments[5].

Par exemple, l'élément le plus simple, nommé hydrogène, est la séquence   qui donne elle-même au terme suivant. La séquence   est dénommée manganèse ; au terme suivant, elle donne   qui se décompose en les séquences prométhium ( ) et sodium ( ).

Il a été montré que si l'on débute la suite par le terme uranium  , les 91 autres éléments seront apparus dans un terme ou un autre au bout de 91 itérations.

Dans la littérature modifier

Bernard Werber a repris cette suite dans ses œuvres Les fourmis et dans L'Encyclopédie du savoir relatif et absolu[11].

Références modifier

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Look-and-say sequence » (voir la liste des auteurs).
  1. a et b (en) J. H. Conway, Open Problems in Communications and Computation, Wonderful Chemistry of Audioactive Decay, New York, Springer-Verlag, (lire en ligne), p. 173-188
  2. a et b Daniel Lignon, « La suite audioactive, une devinette décryptée par les maths », Tangente, no 191,‎ , p. 46-47 (lire en ligne  )
  3. (en) John H. Conway, « The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay », Eureka, Université de Cambridge, no 46,‎ , p. 4 (prelude), 5-18 (ISSN 0071-2248, lire en ligne  ).
  4. (de) Mario Hilgemeier, « Die Gleichniszahlen-Reihe », Bild der Wissenschaft, no 12,‎ , p. 194-196 (lire en ligne)
  5. a et b Jean-Paul Delahaye, « Les 92 éléments du Big Bang numérique de John Horton Conway », Pour la Science, no 219,‎ (lire en ligne)
  6. Pour plus de décimales, voir la suite A014715 de l'OEIS - jusqu'à la 20000e.
  7. (en) Eric W. Weisstein, « Conway's Constant », sur MathWorld.
  8. a et b « A Derivation of Conway’s Degree-71 “Look-and-Say” Polynomial », sur Nathaniel Johnston, (consulté le )
  9. (en) Michael J. Bradley, Ph.D., Mathematics Frontiers: 1950 to the Present, Infobase Publishing, (ISBN 978-0-8160-5427-5, lire en ligne), p. 45.
  10. Suite  A137275 de l'OEIS.
  11. [vidéo] Deux (deux ?) minutes pour les suites de Conway sur YouTube

Annexes modifier

Articles connexes modifier

Liens externes modifier

Sur les autres projets Wikimedia :