Connexité par arcs

espace topologique tel que deux points peuvent toujours être reliés par un chemin

En mathématiques, et plus particulièrement en topologie, la connexité par arcs est un raffinement de la notion de connexité. Un espace topologique est dit connexe par arcs si deux points quelconques peuvent toujours être reliés par un chemin. Bien que la connexité est la notion fondamentale, la connexité par arcs est plus intuitive et se trouve être très souvent la meilleure façon de prouver la connexité.

Deux points quelconques peuvent être reliés par un chemin tracé dans cette partie.

CheminsModifier

Avant de définir la connexité par arcs, il faut définir ce qu'on appelle « relier par un chemin ». Selon le cadre où l'on se trouve, on peut considérer des chemins particuliers.

Chemins dans un espace topologiqueModifier

Si E est un espace topologique et si x et y sont deux points de E, on appelle chemin d'origine x et d'extrémité y toute application continue   telle que   et  .

On dit que x et y sont reliés s’il existe un chemin d'origine x et d'extrémité y.

La relation « x est relié à y » est une relation d'équivalence sur E, dont les classes d'équivalence sont appelées les composantes connexes par arcs de E.

Chemins dans un espace vectoriel norméModifier

Dans le cas où l'espace ambiant E est un espace vectoriel normé, on peut préciser la nature des chemins qui relient les points.

  • Chemins rectilignes : un chemin est dit rectiligne s'il peut s'écrire   pour tout  . Le vecteur   est appelé vecteur directeur de  . Le support du chemin est alors un segment de droite.
  • Chemins polygonaux : un chemin est dit polygonal s’il s'écrit comme un composé d'un nombre fini de chemins rectilignes. Par exemple, un trajet dans Manhattan est un chemin polygonal.
  • Chemins de classe   : un chemin peut être de classe   avec  . En fait tout chemin est de classe   c'est-à-dire continu, mais on peut avoir des niveaux de régularité supérieurs. Un chemin de classe   avec   sera dit de plus régulier si   pour tout  . Un chemin régulier de classe   est dit chemin lisse.

Connexité par arcsModifier

Ces différents types de chemins vont permettre de définir différents types de connexité par arcs selon les cas.

DéfinitionModifier

Un espace topologique E est dit connexe par arcs si tout couple de points de E est relié par un chemin dont le support est inclus dans E.

Une partie A de E (munie de la topologie induite) est donc connexe par arcs si et seulement si tout couple de points de A est relié par un chemin restant dans A.

Une partie A d'un espace vectoriel normé est dite connexe par arcs polygonaux (respectivement par arcs  ) si deux points quelconques de A peuvent être reliés par un chemin polygonal (respectivement de classe  ).

ExemplesModifier

 
L'adhérence C du graphe Γ de f est connexe, mais pas connexe par arcs.

Lien avec la connexitéModifier

Tout espace connexe par arcs est connexe, mais la réciproque est fausse. Voici un contre-exemple classique. On définit une fonction f par

 

Cette fonction est continue sur ]0, 1]. On note Γ son graphe et C l'adhérence de Γ :  

Alors Γ est connexe (comme graphe d'une fonction continue sur un intervalle réel) donc son adhérence C aussi, mais C n'est pas connexe par arcs.

De même, la courbe sinus du topologue Γ ∪ {(0, 0)} est connexe mais pas connexe par arcs.

Cependant :

Lien avec la continuitéModifier

La connexité par arcs, comme la connexité, est conservée par les applications continues. Si   est une application continue entre deux espaces topologiques et si l'espace de départ E est connexe par arcs, alors son image f(E) est connexe par arcs.

On a des résultats similaires pour les types plus spécifiques de connexités par arcs :

ProduitModifier

Tout produit d'espaces connexes par arcs est connexe par arcs.

En effet, si x et y sont deux points de   et si les   sont connexes par arcs, il existe pour chaque indice i un chemin   à valeurs dans   tel que :  ,  . Le chemin   défini par   joint alors x à y.

NoteModifier

  1. Voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.

Voir aussiModifier

Connexité simple